《第十一章无穷级数第十一章第7节傅立叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章无穷级数第十一章第7节傅立叶级数（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,2,一、问题的提出,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,3,4,5,6,7,8,二. 三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动 :,(谐波函数),( A为振幅,复杂的周期运动 :,(谐波迭加),令,则得函数项级数,称上述级数为三角级数 .,为角频率,为初相 ),9,定理 1 组成三角级数的函数系,在 上正交 ,即其中任意两个不同的函数之积在,上的积分等于 0 .,证:,同理可证 :,10,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,上的积分不等于 0 .,且有,11,三. 周期为 2 的周期函数的傅立叶级数,定理 2 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且,右端级数可
2、逐项积分, 则有,证: 由定理条件, 在 逐项积分, 得,12,类似地, 用 sin k x 乘式两边, 再逐项积分可得,利用正交性,13,由公式 确定的,以,的傅立叶,的傅立叶级数 ，记作,称为函数,的傅立叶系数 ;,系数为系数的三角级数 称为,法国 1768-1830,14,定理3 (收敛定理，展开定理),设 f (x) 是周期为 2 的,周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:,1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;,2) 在一个周期内只有有限个极值点 ;,则 f (x) 的傅立叶级数收敛 , 且有,x 为间断点,其中,( 证明略 ),为 f (x) 的傅立叶
3、系数 .,注意: 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多,x 为连续点,德国 1805-1859,15,例1.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅立叶系数,将 f (x) 展成傅立叶级数.,(P298 例1 ),16,当,当,17,说明: 1) 根据收敛定理可知,当,时, 级数收敛于,2) 傅氏级数的部分和近似 f (x) 的情况,18,例2.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,将 f (x) 展成傅立叶级数.,解:,19,说明: 当,时, 级数收敛于,20,周期延拓,傅立叶展开,在,上的傅立叶级数,四. 定
4、义在 ,上的函数 f (x) 的傅氏级数展开法,其它,21,例3. 将函数,展成傅立叶级数 .,解: 将 f (x)延拓成周期 为2 的周期函数 F(x) ,则,22,利用此展式可求出几个特殊的级数的和 .,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,23,其傅立叶级数为,1.,为 奇 (偶) 周期函数，其傅立叶系数与,傅立叶级数有何特点？,思考与练习,其傅立叶系数为,24,2.,设周期函数在一个周期内的表达式为,则它的傅立叶级数在,处收敛于,在,处收敛于,;,.,提示:,25,x 为连续点,x 为间断点,五、 正弦级数和余弦级数,26,1. 周期为 2 的奇、偶函数的傅立叶级数
5、,定理 对周期为2的奇函数 f (x) , 其傅立叶级数为 正弦级数 ,它的傅立叶系数为,周期为2的偶函数 f (x) 其傅立叶级数为余弦级数 , 它的傅立叶系数为,27,例1. 设,的表达式为,将,是周期为 2 的周期函数, 它在,解: 若不计,则,是周期为 2 的奇函数,因此,展成傅立叶级数 .,上,28,根据收敛定理可得,的正弦级数:,29,例2. 将周期函数,展成傅立叶级数 , 其,中E为正常数 .,解:,是周期为2 的周期,偶函数 , 因此,30,31,2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,在,上展成,周期延拓,在,余弦级数,正弦级数,上展成,32,例3. 将函数,分
6、别展成正弦级,数与余弦级数 .,解: 先求正弦级数.,将,则有,作奇周期延拓,33,注意:,在端点 x = 0 , , 级数的和为0 ,与原函数的值不同 .,34,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓 ,35,说明: 令 x = 0 可得,即,36,内容小结,1、周期为 2 的函数的傅立叶级数及收敛定理 .,间断点),其中,注意: 若,为间断点 ,则级数收敛于,37,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3、 在 0 , 上函数的傅立叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,思考与，在 0 , 上的函数的傅立叶展开法唯一吗 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .,2、周期为 2 的奇、偶函数的傅立叶级数,38,作业11-7: P250 1(1) , (3) ; 2 (1) ，3，5，7,
