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1、实际问题与二元一次方程组经典例题 2013年5月1日经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人
2、每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。分析：船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速 类型二：列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两
3、个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲
4、、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率举一反三：【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利 = 售价
5、进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.举一反三：【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一
6、年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%） 思路点拨：扣税的情况：本金年利率(1-20%)年数=利息（其中，利息所得税=利息 金额 20%）.不扣税时：利息=本金年利率年数. 类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为
7、132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.举一反三：【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两
8、个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；制盒身个数的2倍=制盒底个数. 【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。类型六：列二元一次方程组解决增长率问题6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年xy200今年120%x90%y
9、780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。举一反三：【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系为：（1）城镇人口+农村人口=42万；（2）城镇人口(1+0.8%)+农村人口（1+1.1%）=42（1+1%）类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共
10、9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。举一反三：【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分2
11、1时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？思路点拨：本题关键之一是：小孩子看游泳帽时 只看到别人的，没看到自己的帽子。关键之二是：两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：每
12、位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。类型八：列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100yx举一反三：【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字
13、之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？类型九：列二元一次方程组解决浓度问题9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是41，今要得到酒精与水的比为32的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的
14、溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比。总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？思路点拨：做此题的关键是找到配制溶液前后保持不变的量，即相等的量。本题主要有两个等量关系，等量关系一：配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二：配制盐水前后盐水的总重量相等。【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？类型十：列二元一次方程组解决几何问题10如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每
