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1、线性代数一,第一章 行列式,一、 二阶和三阶行列式,行列式是由解线性方程组的公式引出的。,先看二元线性方程组,利用加减消元法可以得,(1)的解为,由方程组的四个系数确定.,为了容易记住上面的公式解，引入下面运算记号,定义,(3),称（3）式的左边为二阶行列式，右边的式子为,二阶行列式的展开式 。其中称,为行列式的,元素，,分别表示该元素位于第,行第,列.,二阶行列式的计算,对角线法则,主对角线,副对角线,例如,行列式的计算结果是一个数。,注意：,则二元线性方程组（1）的解可写成,(4),类似地，对于三元线性方程组,(5),为了容易记住(5)的求解公式，引入三阶行列式,定义,(6),的概念。,称
2、(6)式的左边为三阶行列式，右边式子为三阶,行列式的展开式。,三阶行列式的计算可用下面的对角线法则,注意:,2. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三,元素的乘积冠以负号。,1. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不,同行,不同列的三个元素的乘积。,例1,计算三阶行列式,解:,按对角线法则，有,若记,则三元线性方程组(5)的解为:,关于二元、三元线性方程组解公式的形式还可推广,到n元线性方程组，这就需要类似地引入n阶行列式。,定义：由,个数组成的记号,=,称n阶行列式,（i,j=， ，n）,称为元素,为了给出n阶行列式的定义，需要用到逆序数与,对换的概念。,二. 逆序数与对换,定义,将n个数
3、 1，2， ，n,按某种次序排成一排，,称其为这n个数的一个全排列，简称为排列。这n个,数按自然次序由小到大的排列称为标准排列。,显然，n个数共有n!个全排列。,3级全排列的全体共有6个，分别为:,123，231，312，132，213，321,其中123是标准排列。,定义2,在n个数1,2, ,n的一个全排列,中，若两个数的前后次序和标准排列不一致，则称这,两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总的个数称,为这个排列的逆序数，记为t。,例如 排列 32514 中,3 2 5 1 4,求排列3 2 5 1 4的逆序数,分析:,3 2 5 1 4,逆序数为3,逆序数为1,逆序数为0,0,1,例2：
4、,即将其中的每一个数与前面的每个数比较大小，前面,的数大于这个数就构了一个逆序。,3在首位，逆序数为0；,解:,2的前面是3，故逆序数为1；,5的前面数都小于5，故逆序为0；,1的前面3，2，5都大于1，故逆序为3；,4的前面只有5大于4，故逆序为1。,于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5,如果一个排列的逆序数是奇（偶）数，那么,定义3,称这个排列为奇（偶）排列。,定义4,在一个排列中，任意对调两个元素，其余,元素不动，这过程称为对换。相邻两个元素的对换,称为相邻对换。,例如,定理1：,一个排列进行奇（偶）数次对换，排列改,变(不改变)奇偶性。,证明:,设排列为,除 外，其它元素的
5、逆序数不改变。,当 时，,变;,经对换后,经对换,的逆序数增加1 ,的逆序数不,当 时，,的逆序数不变,减少1 。,的逆序数,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.由此知,一个排列进行奇数次相邻对换，排列改变奇偶性；,进行偶数次相邻对换，排列不改变奇偶性。,设排列,现来对换 与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇,偶性。,如果定义标准排列为偶排列，则有上面定理可得到,下面推论,奇(偶)排列经过奇(偶)次对换可成为标准排列。,推论:,因而,一个排列进行奇（偶）数次对换，排列改变(不,改变)奇偶性。,三、n阶行列式的定义,从二、三阶行列式的定义，可发现以下三个特点:,1.它们的展开式的每
6、一项都是位于不同行不同列,元素的乘积；,2.每一项前面的正负号是由,来确定,其中t 是,该项各元素的行下标从左至右按标准排列时,相应,列下标排列的逆序数;,3.二阶行列式的展开式有2！项，三阶行列式的,展开式有3！项。,根据以上三个特点，二、三阶行列式的定义可写成,其中,是1，2的排列，,表示对1，2所有排列,求和(共2!个)，t是排列,的逆序数。,可将以上定义形式进行推广而得到n阶行列式的定义。,定义5,将,个数,排成n行n列，,的逆序数,表示对1，2，n所有排,列(共n!个)求和。称式(9)左边为n阶行列式，右边,(9),为n阶行列式的展开式，称,为n阶行,列式中位于第i行第j列位置上的元
7、素。,注：,1. 阶行列式是 项的代数和;,2. 阶行列式的每项都是位于不同行、不同,3. 的符号为 , 为排列,的逆序数。,4. 一阶行列式 不要与绝对值记号相互,混淆;,5. 阶行列式可简记为 或,列 个元素的乘积;,定理2:,n阶行列式也可定义为,的逆序数,表示对1，2，n所有排,列(共n!个)求和。,证明：,（10）,成标准排列时,对(9)右边每一项变形,将,对换,证毕。,根据定义5与定理2易计算出下面n个特殊行列式,1.对角行列式,(1),(2),2. 三角行列式,(1),(2),(3),(4),注：,除一些特殊行列式外，一般行列式按定义,计算很繁杂困难，因此实际计算行列式并不用,其
8、定义提供的方法。,例：求四阶行列式,展开式中,和,项的正负号,三、 小结:,2. 个不同的元素的所有排列种数为,3. 阶行列式共有 项，每项都是位于不同,排列的逆序数决定.,行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标,一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的计,算要简便，考虑将高阶的行列式化成低阶的行列式,计算，为此，先引入余子式和代数余子式的概念。,定义,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行,第 列划去，留下的 阶行列式称为元素 的余,代数余子式。,子式，记为 ，记 ， 称为元素 的,一、余子式与代数余子式,行列式按行（列）展开,例如,注：,以及其所在行、列的所有元素均无关。,元素 的余子
9、式及代数余子式与元素 本身,例：已知,，求元素和,的余子式。,的余子式为：,解：的余子式为：,例：已知行列式：,求元素和,的代数余子式,解：的代数余子式,的代数余子式,(),注:,利用这一法则可将行列式降阶。,行列式按行（列）展开法则,素与其对应的代数余子式乘积之和，即,定理,阶行列式等于它的任一行（列）的各元,(1),(2),例,行列式的性质,记,行列式 称为行列式 的转置行列式.,性质1 行列式与它的转置行列式相等.即,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,互换行列式的两行（列）,行列式变号.,互换行列式 的第 行和第 行,所得行列,式记为 则,性
10、质2,注:,性质3：,行列式中某一行（列）中的公因子可以提,到行列式号外面。即,列式的某一行(列)中的所有元素。,此性质也相当于：用 乘以行列式等于用 乘行,行列式有两行(列)对应元素相等时，该,行列式等于零。,推论1：,推论2：,行列式中如果有两行（列）元素成比例，,则此行列式为0。,性质4：,行列式具有分行(列)相加性，即,则有:,性质5:,到另一行(列)对应元素上，行列式不变。即,行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加,证明: 根据行列式的性质5及性质3知,证毕.,素与其对应的代数余子式乘积之和，即,阶行列式等于它的任一行（列）的各元,性质6:,(1),(2),阶行列式的第 行(列)各元
11、素与第 行(列),的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,性质7：,及,行列式的计算,方法一：利用性质化成上（下）三角行列式。 方法二：利用性质化简、降阶。,上三角行列式:,非零元素在主对角线及其上方。,非零元素在主对角线及其下方。,下三角行列式:,上三角 行列式,下三角 行列式,应用举例,计算行列式最常用方法:利用行列式的性质,把行,列式化为上三角形行列式再进行计算。,例,计算,思考:,由观察知第 行和第 列上对应元素互,为相反数,若每行提公因子-1出来结果会怎样?,解:,故,例4,计算,思考:,化为三角形行列式前怎样变形可简化过程,解:,例5,计算,解:,分析:,求行列式的值时,本着化繁为简的原则,有公因式时先提公因式。,例,计算行列式,分析:,1) 原则上按任意的行或列展开均可，但,用常常使计算更为简便。,2) 将该定理与行列式的性质结合起来使,多的行或列进行展开。,为了计算方便，往往尽可能选择零元素较,解:,二，三元线性方程组 的公式解法可以推广到n元线,克莱姆法则,性方程组。,(克莱姆 ( Cramer)法则),定理4,设n元线性方程组为,记,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组,右端的常数项代替后所得到的 阶行列式。,如果方程组(27)的系数行列式 ,则它唯一解,其解为,例,解方程组,解 ：,经计算,故,
