第十二章微分方程第十二章第9节二阶常系数非齐次线性微分方程

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1、1,三、小结及作业,2,第九节 常系数线性非齐次微分方程,方程,为常数 ),叫做二阶常系数线性非齐次微分方程 .,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法:,根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解,的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .,3,一.,为常数 ),型,为实数 ,设特解形式为,其中 为待定多项式 ,将,代入原方程 , 得,(1) 若,则取 Q (x) 为 m 次待定系数多项式,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,不是特征方程的根 , 即,4,为常数 ) (4),设特解为,(2) 若,但,则,是一个待定系数的 m 次多项式 ,这时特解形式为,(3) 若

2、,且,则,是一个待定系数的 m 次多项式 ,这时特解形式为,小结,对方程(4), 当,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程,是特征方程的单根 , 即,是特征方程的重根 , 即,是特征方程的 k 重根 时,可设特解为,5,例1. 求方程,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数 , 得,于是所求特解为,6,例2. 求方程,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数 , 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,7,特征方程为,其根为,方程特解为,代入方程得,比较系数 , 得,8,例4. 求解

3、定解问题,解: 本题,而特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,9,于是所求解为,原方程通解为,解得,10,11,解：设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例7 写出微分方程,的待定特解的形式.,12,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0 , 1 ) ,上述结论也可推广到高阶方程的情形 。,13,例8. 求方程,的一个特解.,解: 本题,特征方程,所以可设原方程,由于 不是特征方程的根 ,代入方程得,特解为,比较系数 , 得,于是求得一个特解,14,例9. 求方程,的通解.,解:,特征方程为,其根为

4、,对应齐次方程的通解为,比较系数 , 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,由于 为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,15,例10. 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式,解: (1) 特征方程,即,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,即,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,16,思考与练习,1. 求方程,的通解 .,提示:,对应齐次方程通解,1) 当,时,设特解,2) 当,时,设特解,答案: 原方程的通解为,17,2 . (填空) 设,1) 当 时可设特解为,2) 当,时可设特解为,提示:,18,三、小结,1.,为特征方程的,重根 ,则设特解为,2.,为特征方程的,重根 ,则设特解为,19,作业12-9,P317 1 (1) (5) (6) (8) (10) , 2 (2) (4) ; 3, 6,20,练 习 题,21,22,练习题答案,23,