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1、 知识点; 等腰三角形与等边三角形(2019中考数学试题分类汇编)1 知识点29 等腰三角形与等边三角形一、选择题1. （2018四川绵阳，11，3分） 如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB ，CE=CD ，ACB 的顶点A 在ECD 的斜边DE 上，若AE=2，AD=6，则两个三角形重叠部分的面积为 A.2 B.23- C.13- D.33-【答案】D【解析】解：过A 点作AF CE 于点F ，设AB 与CD 的交点为M ，过M 点作MN AC 于点N ，如图所示. ECD 为等腰直角三角形，E=45.AE=2，AD=6，AF=EF=1,CE=CD=2DE =31+，CF=
2、3,AC=22CF AF +=2，ACF=30ACD=60.设MN =x ，ABC 为等腰直角三角形，CAB=45，2 AN=MN =x ，CN=3MN =33x ， AC=AN+CN=x +33x =2， 解得x=3-3，S ACM =21AC MN=3-3. 故选D.【知识点】等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算2. （2018山东临沂，11，3分）如图，ACB 90，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别是点D ，E .AD 3，BE 1.则DE 的长是( )第11题图 A 32 B2 C. D 【答案】B3 【解析】AD CE ，BE C
3、E ，ADC =CEB =90，DAC DCA =90，ACB 90，ECB DCA =90，DCA =ECB ，AC =CB ，ACD CBE ，AD =CE =3，CD =BE =1，DE =CE CD =31=2，故选B.【知识点】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性质3. （2018山东省淄博市，11，4分）如图，在RtABC 中，CM 平分ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ，若AN =1，则BC 的长为（A ）4 （B ） 6 （C ）（D ）8（第11题图）B【答案】B 【思路分析】由已知MN BC 和CM 平分ACB 可证MN
4、=NC ，ANM =ACB ，NMC =MCB ，再由MN 平分AMC 可得ANM =ACB ，从而得到ANM =2AMN ，可得AMN =30，再利用直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半求出MN ，进而得到NC ，求得AC ，从而求出BC .【解题过程】MN BC ，ANM =ACB ，NMC =MCB ，CM 平分ACB ，MCB =MCN =12ACB ，NMC =NCM ，MN =NC ，MN 平分AMC ，AMN =NMC =12AMC ，AMN =12ACB =12ANM ，A =90，AMN =30，AN =1，MN =2，NC =2，AC =3，B =AMN =30，B
5、C =2AC =6，故选B.【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形4. （2018浙江湖州，5，3）如图，AD ，CE 分别是ABC 的中线和角平分线若AB AC ，CAD 20，则 ACE 的度数是（ ）A 20B 35C 40D 70【答案】B【解析】ABAC，AD是ABC的中线，ADBCCAD20，ACD70CE是ABC的平分线，ACE35故选B.【知识点】等腰三角形，角平分线，中线1. （2018福建A卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于( )A15 B.30 C. 45 D. 60【答案】A【解析】解：A
6、BC是等边三角形，ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD是BC的垂直平分线，BE=CE，EBC=ECB=45，ECA=-60-45=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一2. （2018福建B卷，5，4）如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于( )A15 B.30 C. 45 D. 60【答案】A【解析】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD，AD是BC的垂直平分线，BE=CE，EBC=ECB=45，ECA=-60-45=15.【知识点】等边三角形性质，三线合一3. （2018四川雅安，10题，3分）已
7、知：如图，在ABC中，AB=AC，C=72，B为圆心，BC4为半径画弧，交AC与点D，则线段AD的长为第10题图A.【答案】C【解析】在ABC中，AB=AC，C=72，所以B=72，A=36，因为BC=BD，所以BDC=72，所以ABD=36，所以C【知识点】等腰三角形4. （2018四川凉山州，4，4分）如图，在ABC中，按以下步骤作图：分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN交BC于D，连结AD若ADAC，B25，则C=（）A.70B.60C.50D.40【答案】C【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线，ADBD，DAB=B25,CDA为ABD的
8、一个外角，CDA=DAB+B50.ADAC，C=CDA=50.故选择C.【知识点】尺规作图线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质.55. （2018广西玉林，9题，3分）如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直第9题图【答案】A【解析】由已知得AOB为等边三角形所以O=OAB=60易证AOCABD，得ABD=60所以OAB=ABD，所以BDOA故选A.【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的
9、判定二、填空题1. （2018四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为50，则它的顶角的度数为【答案】80【解析】解：等腰三角形的一个底角为50，且两个底角相等，顶角为18025080【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和1. （2018贵州遵义，14题，4分）如图，ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点，若CAE=16，则B为_度第14题图【答案】37【解析】因为AD=AC，E为CD的中点，所以DAC=2CAE=32，所以ADC=12(180-DAC)=74，因为BD=AD，所以B=12ADC=37【知识点】等腰三角形三线合一，外角672. （2018湖南省湘潭市
10、，12，3分）如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则BAD_.【答案】30【解析】ABC 是等边三角形，BAC=60，AB=AC ，D 是BC 中点，AD 平分BAC ，BAD=30.【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质3. （2018江苏淮安，13，3） 若一个等腰三角形的顶角等于50，则它的底角等于.【答案】65【解析】分析：本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.解：由题意得，等腰三角形的底角（180-顶角）2（180-50）265.故答案为65【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理4. （2018 湖南张家界，12
11、，3分）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转150，得到ADE ，这时点DC B 、恰好在同一直线上，则B 的度数为_【答案】15【解析】解：ABC 绕点A 逆时针旋转150，得到ADE ，BAD=150，ABC ADE . AB=AD.8 BAD 是等腰三角形. B=ADB=1-2BAD （180）=15.【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质.三、解答题1. （2018浙江绍兴，22，12分）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，110A =，求B 的度数.（答案：35） 例2 等腰三角形ABC 中，40A =，求B 的度数.（答案：40或70或100）张老师启发同学们
12、进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC 中，80A =，求B 的度数.（1）请你解答以上的变式题.（2）解（1）后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x =，当B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.【思路分析】（1）可分当A 为顶角、当A 为底角两种情况讨论，当A 为顶角时，B 只能为底角；当A 为底角时，B 既可以为顶角，也可以为底角所以B 的度数有三种情况。（2）分两种情况：当90180x 时，A 只能为顶角，B 的度数只有一个；当090x 时，A 既可以是顶角，也可以是底角，当A 是底角时，B 既可以为底角，
13、也可以为顶角，也就是B 有三个不同的度数，但是当A =60时，B 只能等于60，所以当B 有三个不同的度数时，x 的取值范围是090x 且60x 。 【解题过程】22.解：（1）当A 为顶角，则50B =，当A 为底角，若B 为顶角，则20B =，若B 为底角，则80B =，50B =或20或80.（2）分两种情况：9 当90180x 时，A 只能为顶角，B 的度数只有一个.当090x 时，若A 为顶角，则1802x B -= ， 若A 为底角，则B x =或(1802)B x =-， 当18018022x x -且1802x x -且1802x x -，即60x 时， B 有三个不同的度数.综上，当090x 且60x ，B 有三个不同的度数.【知识点】等腰三角形的性质2. （2018宁波市，23题，10分） 如图,在ABC 中,ACB=90,AC=BC,D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合,连结CD,将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE,连结DE 交BC 于点F 连接BE.（1）求证:ACD BCE;（2）当AD=BF 时,求BEF 的度数.A【思路分析】【解题过程】解：（1）线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，DCE=90,CD=CE ，
