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1、第5章 控制系统的稳定性分析,5.1 引言,一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。,稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。,1892年，俄国学者李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，18571918)在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是
2、现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。,李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。,李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立
3、在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减，直至 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。,5.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念,李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于
4、线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。,5.2.1 平衡状态,稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为 （51）,式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t； 为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为 （52）,式（51）的解为 （53） 式中，为初始时刻， 为状态向量的初始值,式（53）描述了系统式（51）在n维状态空间的状态轨线。若在式（51）所描述的系统中，存在状态点 ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即 ，该类状态点 即为系统的平衡状态，即
5、 若系统式（51）存在状态向量 ，对所有时间t都使 （54） 成立，则称 为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 式（54）为确定式（51）所描述系统平衡状态的方程。,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。,李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的。,平衡态附近(邻域)的运动变化图,【例51
6、】设系统的状态方程为 ，求其平衡状态。 解：其平衡状态应满足平衡方程式（54），即 ，即， 解之，得系统存在3个孤立的平衡状态,5.2.2 范数和球域,定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中任意两点和，它们之间距离的范数记为 。,范数:,工程中常用的是2范数:,在n维状态空间中，若用点集 表示以 为中心、为半径内的各点所组成空间体称为超球域，那么 ， ，则表示 （56） 当 很小时，则称为的 邻域。因此，若有 ，则意味着 。同理，若方程式（51）的解 位于球域 内，便有 （57） 表明齐次方程式内初态 或短暂扰动所引起的自由响应应是有界的。,5.2.3 李亚普诺夫稳定性定义,一、李亚
7、普诺夫意义下稳定,在H邻域内，若对于任意给定的 ，均有。 如果对应于每一个 ，存在一个 ，使得当t趋于无穷时，始于 的轨迹不脱离 ，则式(51)系统之平衡状态 称为在李雅普诺夫意义下是稳定的。一般地，实数与有关，通常也与t0有关。如果 与t0无关，则称此时之平衡状态 为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着：首先选择一个球域S(），对应于每一个S(），必存在一个球域S(），使得当t趋于无穷时，始于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。,二、渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）,如果平衡状态 ，在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且始于域S(）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S(），且收敛于 ，则称
8、式(4.1）系统之平衡状态 为渐近稳定的，其中球域S(）被称为平衡状态 的吸引域。 类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态 为一致渐近稳定的。,实际上，渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。,三、大范围渐近稳定性,对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态 称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(51）系统之平衡状态
9、 渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。,在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。,四、不稳定性,如果对于某个实数0和任一个实数 0，不管这两个实数多么小，在S（）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(），那么平衡状态 称为不稳定的。,注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初
10、始条件的精确吸引域，因而除非S(）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。,平衡状态及对应于稳定性、的典型轨迹。,平衡状态及对应于渐近稳定性的典型轨迹,平衡状态及对应于不稳定性的典型轨迹,线性系统稳定性概念与李雅普诺夫意义下的稳定性概念,5.3 李亚普诺夫稳定性定理,5.3.1 李雅普诺夫第一法,基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。,设非线性系统的状态方程 ， （58） 或写成 （59） 将非线性函数 在平衡状态 处附近展成Taylor级数，则有,（510） 式中 为常数 ， 为一次项系数，且 为
11、所有高次项之和。 由于 ，故线性化方程为 （511） 其中 （512） 为雅可比矩阵。,李雅普诺夫三定理 (李雅普诺夫第一近似定理 ),定理51 如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。,定理52 如果线性化系统的系统矩阵A的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态 总是不稳定的。,定理53 如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态 的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线
12、性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。,如果对所有在域中的非零状态 ，有 ，且在 处有 ，则在域（域包含状态空间的原点）内的标量函数 称为正定函数。 如果时变函数 由一个定常的正定函数 作为下限，即存在一个正定函数，使得 , 对所有 （513） , 对所有 （514） 则称时变函数 在域（包含状态空间原点）内是正定的。,5.3.2 预备知识 一、标量函数的符号和性质 1标量函数的正定性,4标量函数的负半定性 如果 - 是正半定函数，则标量函数 称为负半定函数。,2标量函数的负定性 如果 - 是正定函数，则标量函数 称为负定函数。,3标量函数的正半定形 如果标量函数 除了原点以及某些状态等于零外
13、，在域内的所有状态都是正定的，则 称为正半定标量函数。,5标量函数的不定性 如果在域内，不论域多么小， 既可为正值，也可为负值时，则标量函数 称为不定的标量函数。,1、 正定的 2、 正半定的 3、 负定的 4、 不定的 5、 正定的,1二次型 建立在李雅普诺夫第二法基础上的稳定性分析中，有一类标量函数起着很重要的作用，即二次型函数。例如， （515） 注意，这里的 为实向量， 为实对称矩阵。,二、二次型函数,2复二次型或埃尔米特型 如果 是 维复向量，为埃尔米特矩阵，则该复二次型函数称为埃尔米特型函数。例如 （516） 在基于状态空间的稳定性分析中，经常使用埃尔米特型，而不使用二次型，这是因
14、为埃尔米特型比二次型更具一般性（对于实向量x和实对称矩阵P，埃尔米特型 等于二次型 ）。,二次型或者埃尔米特型 的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指出，二次型或埃尔米特型 为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即 （517） 注意， 是 的复共轭。对于二次型， 。 如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则 是正半定的。 如果 - 是正定的，则 是负定的。同样，如果 - 是正半定的，则 是负半定的。,例 已知非线性系统,其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。,计算,由特征方程 ，得,设 则,当 时，系统在 渐近稳定；,如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。,5.3.3 李亚普诺夫第二法,李雅普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态邻域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定，还是不稳定。,一、关于渐近稳定性,对于给定的系统，若可求得正定的标量函数 ，并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随着时间的增加， 将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终 变为零，而也趋于零。这
