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1、第九章 相似原理与量纲分析,9-1相似的基本概念,9-1相似的基本概念,相似系统：模型与原型之间必须具有：,外形必须几何相似。,运动状态、力的作用情况必须相似。,表征同类物理性质的量必须具有同一比值。,外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线性长度具有同一比例。,长度比尺（缩小倍数）：,面积比尺：,体积比尺：,9-1相似的基本概念,运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须方向相同，大小成比例）：,速度相似比尺：,加速度相似比尺：,9-1相似的基本概念,动力相似 （力的方向必须方向相同，大小成比例）,力比尺：,惯性力：,影响液体运动的作用力主要有：粘性力、重力、动水压力，而惯性力是维持液体质
2、点原有运动状态的力，分别以T、G、P、I来表示。,9-1相似的基本概念,几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定两个流动相似的主导因素，而运动相似是几何相似和动力相似的表现。,9-2 相似准则,9-2相似准则,一、牛顿相似准则,将上式展开：,牛顿数：,若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。,9-2相似准则,二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则）,粘性阻力比尺：,水流粘性力相似的必要条件：,粘性阻力的比尺与惯性阻力的比尺为同一相似比尺。,即：CT =CF,则：,得：,也可写成：,雷诺数：,雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。,9-2相
3、似准则,三、佛汝德相似准则（重力相似准则）,则：,得：,也可写成,(Fr)p=(Fr)m,重力与惯性力之比值为同一常数,Fr 表明了惯性力与重力之比,（佛汝德数）,9-2相似准则,四、欧拉相似准则（总压力P不可忽略时）,则:,即：,或：,要满足动水压力相似，必须,若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同时满足R e 、F r 、E u 准则，才能实现动力相似。,9-3相似原理的应用,9-3相似原理的应用,一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是Fr数相等（原型和模型）,在地球上gpgm,流量比尺：,时间比尺：,9-3相似原理的应用,二、考虑粘性阻力起主要作用的雷诺相似准则 要求原、模型的雷
4、诺数相等。,一般原、模型中的流体性质相同,即,如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20倍。不易做到。,流量比尺：,时间比尺：,9-3相似原理的应用,对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fr准则，才能保证流动相似，,但Fr准则要求,而Re准则要求,二者不能同时满足,解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则,则有：,和,则：,9-3相似原理的应用,才能同时满足Fr和Re准则。实际要做到这一点几乎是不可能的。,9-3相似原理的应用,例1 有圆管直径为20cm，输送=0.4cm2/s的油液，流量为12L/s。若在实验室中用5cm直径的圆管作模型实验。假如采
5、用（1）20的水；或 （2）空气(=0.17cm2/s)作实验流体，则模型中流量各为多少才能满足粘滞力作用的相似？,解：几何比尺：,由雷诺相似准则：,即:,9-3相似原理的应用,1、模型用水做实验，20 vm=0.0101cm2/s vp=0.4cm2/s, QP=12L/s,2、用空气做实验：vm=0.17cm2/s,9-3相似原理的应用,解：,主要受重力作用，应为Fr相等.,9-3相似原理的应用,(m3/s),(m),9-4无量纲数,9-4无量纲数,任何一个物理量的量纲公式可以表示为：,0，=0，=0 代 表一个几何学的量,0，=0 代 表一个运动学的量,0 代 表一个动力学的量,若=0，
6、=0，=0则X=L0T0M0=1,例：气体等温压缩所做的功W可以写成对数形式：,9-5 量纲和谐原理,量纲和谐原理：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项 的量纲都必须是一致的。,量纲和谐原理的重要性： 1、一个方程在量纲上是和谐的，则方程的形式不随量度单 位的改变而改变。,2、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 3、量纲和谐原理可用来建立物理方程式。,9-5 量纲和谐原理,谢才公式:,式中：,C值用公制和英制就具有不同的结果。,量纲不和谐的例子：,9-6 量纲分析之一 - 雷立法,9-6 量纲分析之一 -雷立法,如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各有关因素（变量）的数目,并
7、假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示,即：,(式中的k为无量纲系数,1、2n为待定的指数。),则由量纲和谐原则得出结论：,方程式等号两边的变量积的基本量纲的指数必然相等。,据此，可确定指数1，2，3n的数值和方程式的具体形式，这种方法为雷立首先建立称为雷立法。,雷立法应用步骤：,1、列出与物理现象有关的变量，用变量幂乘积的函数形式来 表示该物理方程式：,2、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式； 3、根据量纲和谐条件，写出基本量纲的和谐方程式，联立求 出各变量的指数； 4、代入原假设的函数式，整理简化，即得反映该物理现象的 公式。,9-6 量纲分析之一 -雷立法,例：确定液
8、流由层流转变为紊流的临界流速关系式。,解：由实验可知,并假设变量之间的关系式可表示成变量幂的形式。,将物理量的量纲代入上式的量纲方程式,9-6 量纲分析之一 -雷立法,由量纲和谐原则得：,：,代入原函数：,即：,9-7 量纲分析法之二 -定律,9-7 量纲分析法之二 -定律,一般来说：m=3,使用定律的步骤：,3、组成无量纲的项：,定律：对某个物理现象，如果存在n个变量互为函数关系 F(q1,q2 qn)=0，而这些变量中含有m个基本量，则可排成 （n-m）个无量纲数的函数关系（1,2,n-m)=0来描述。,1、首先确定影响这个现象的各个物理量； 2、从n个物理量中选出m个基本物理量作为m个基
9、本量纲(m=3)；,9-7 量纲分析法之二 -定律, 检验所取的三个基本量纲量是否正确,若0则L，T，M是相对独立的, 组成项,从三个基本物理量以外物理量中每次取一个，连同三个基本物理量组成一个无量纲的项，一共可以写出（n-3）个项,9-7 量纲分析法之二 -定律, 根据量纲和谐，列指数方程求，, 写出描述现象的关系式,经分析知道绕流阻力与下列因素有关：,平均流速V，物体的特征长度b，重力加速度g,液体密度,动力粘性系数.,共有六个变量，取V,b, 为基本量，n-m=3有三个,9-7 量纲分析法之二 -定律,计算指数项行列式：,基本量纲是独立的,写出无量纲数：,9-7 量纲分析法之二 -定律,将各项方程写成量纲形式：,9-7 量纲分析法之二 -定律,9-7 量纲分析法之二 -定律,代入原函数式：, 数为无量纲，根据需要取倒数而不改变其无量纲性质，对FD求解：,Fr称为佛汝德数。其物理意义在于它反映了惯性力与重力的比值。,
