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1、2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1（4分）（2015上海）设全集U=R若集合=1，2，3，4，=x|2x3，则U=2（4分）（2015上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=3（4分）（2015上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1c2=4（4分）（2015上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=5（4分）（2015上海）抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=6（4分）（2015上海）若圆锥的侧面积与过轴的
2、截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为7（4分）（2015上海）方程log2（9x15）=log2（3x12）+2的解为8（4分）（2015上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）9（2015上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2若C1的渐近线方程为y=x，则C2的渐近线方程为10（4分）（2015上海）设f1（x）为f（x）=2x2+，x0，2的反函数，则y=f（x）+f1（x）的最大值为11（4分）（2015上海）在（1+x+）10的展开式中
3、，x2项的系数为（结果用数值表示）12（4分）（2015上海）赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E1E2=（元）13（4分）（2015上海）已知函数f（x）=sinx若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|=12（m12，mN*），则m的最小值为14（2015上海）在锐角三
4、角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，A BD与ACD的面积分别为2和4过D作D EA B于 E，DFAC于F，则=二、选择题（本大题共有4题，满分15分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2015上海）设z1，z2C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1z2是虚数”的（）A充分非必要条 件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16（5分）（2015上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）ABCD17（2015上海）记方程：x2+a
5、1x+1=0，方程：x2+a2x+2=0，方程：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A方程有实根，且有实根B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根D方程无实根，且无实根18（5分）（2015上海）设 Pn（xn，yn）是直线2xy=（nN*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A1BC1D2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（2015上海）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别
6、是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小20（14分）（2015上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时乙到达B地后原地等待设t=t1时乙到达C地（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当t1t1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在t1，1上的最大值是否超过3？说明理由21（14分）（2015上海）已
7、知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值22（16分）（2015上海）已知数列an与bn满足an+1an=2（bn+1bn），nN*（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列an的通项公式；（2）设an的第n0项是最大项，即aan（nN*），求证：数列bn的第n0项是最大项；（3）设a1=0，bn=n（nN*），求的取值范围，使得an有最大值M与最小值m，且（
8、2，2）23（18分）（2015上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4（1）验证g（x）=x+sin是以6为周期的余弦周期函数；（2）设ab，证明对任意cf（a），f（b），存在x0a，b，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在0，T上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间T，2T上的解”，并证明对任意x0，T，都有f（x+T）=f（x）+f（T）答案
9、：1、解：全集U=R，集合=1，2，3，4，=x|2x3，（UB）=x|x3或x2，A（UB）=1，4，故答案为：1，42、解：设z=a+bi，则=abi（a，bR），又3z+=1+i，3（a+bi）+（abi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，4a=1，2b=1，解得a=，b=z=故答案为：3、解：由题意知，是方程组的解，即，则c1c2=215=16，故答案为：164、解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为aasin60，正棱柱的高为a，（aasin60）a=16，a=4，故答案为：45、解：因为抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，
10、所以p=2故答案为：26、解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：rl，过轴的截面面积为：rh，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，l=2h，设母线与轴的夹角为，则cos=，故=，故答案为：7、解：log2（9x15）=log2（3x12）+2，log2（9x15）=log24（3x12），9x15=4（3x12），化为（3x）2123x+27=0，因式分解为：（3x3）（3x9）=0，3x=3，3x=9，解得x=1或2经过验证：x=1不满足条件，舍去x=2故答案为：28、解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有
11、C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为1266=120种；故答案为：1209、解：设C1的方程为y23x2=，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y23x2=，可得4y23x2=，C2的渐近线方程为4y23x2=0，即故答案为：10、解：由f（x）=2x2+在x0，2上为增函数，得其值域为，可得y=f1（x）在上为增函数，因此y=f（x）+f1（x）在上为增函数，y=f（x）+f1（x）的最大值为f（2）+f1（2）=1+1+2=4故答案为：411、解：（1+x+）10 =，仅在第一部分中出现x2项的系数再由，令r=2，可得，x2项的系数为故
12、答案为：4512、解：赌金的分布列为12345P所以 E1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为1.42.84.25.6P=所以 E2=1.4（1+2+3+4）=2.8，则 E1E2=32.8=0.2元故答案为：0.21314、ABD与ACD的面积分别为2和4，可得，又tanA=，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=由，得则=故答案为：15、解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1z2=1是实数，则z1z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1z2一定不是虚数，因此当z1z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、
13、z2中至少有一个数是虚数”是“z1z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B16、解：点 A的坐标为（4，1），设xOA=，则sin=，cos=，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OP|sin（+）=7（sincos+cossin）=7（+）=+6=，故选：D17、解：当方程有实根，且无实根时，1=a1240，2=a2280，即a124，a228，a1，a2，a3成等比数列，a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程的判别式3=a32160，此时方程无实根，故选：B18解：当n+时，直线2xy=趋近于2xy=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线
