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1、第6章 FIR数字滤波器的理论与设计,6.1 FIR数字滤波器特性 6.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 6.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 6.4 IIR和FIR数字滤波器的比较,2019/6/21,2,6.1 FIR数字滤波器特性,FIR数字滤波器的系统函数H(z)可以表示为 通过对h(n)的适当地约束，可以很容易实现严格的FIR数字滤波器线性相位特性。 6.1.1 线性相位条件 设FIR数字滤波器单位序列响应h(n)的长度为N，则该滤波器的频谱函数可写为,2019/6/21,3,Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。 H(ej)的线性相位特性是指()是的线性函数，即 () = -
2、（第一类线性相位） 当然，如果()满足下式 () = 0- （第二类线性相位） 以上两种情况都满足群时延是一个常数的特点：,2019/6/21,4,1、如果h(n)是实序列，且满足下式，则H(ej) 相位特性属于第一类线性相位。 h(n)=h(N-n-1) 可以证明,2019/6/21,5,将z = ej代入得 则幅度特性Hg()和相位特性()可以分别表示为,2019/6/21,6,2、如果h(n)是实序列，且满足下式，则H(ej) 相位特性属于第二类线性相位。 h(n)=-h(N-n-1) 可以证明,2019/6/21,7,将z = ej代入得 则幅度特性Hg()和相位特性()可以分别表示为
3、,2019/6/21,8,总而言之，在众多FIR数字滤波器当中，当滤波器单位序列响应h(n)是实序列，同时对于 对称（奇对称或偶对称），就能保证FIR数字滤波器相位特性()满足线性相位特性，通常把这类滤波器称为线性相位FIR数字滤波器或线性相位FIR滤波器。 6.1.2 线性相位FIR滤波器幅度特性的特点 当h(n)序列长度N取奇数或偶数时，对滤波器幅度特性Hg()也会有影响，因此，对于两种类型的线性相位，通常把它们分成四种情况进行讨论。,2019/6/21,9,1、第一类线性相位条件：h(n)=h(N-n-1)，当N=奇数时，属于情况1。 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()可以写为 这样幅
4、度特性可以进一步表示为,2019/6/21,10,或,2019/6/21,11,2、第一类线性相位条件：h(n)=h(N-n-1)，当N=偶数时，属于情况2。 分析推导过程和前面N =奇数相似，不同点是由于N =偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。即 或,2019/6/21,12,对于自变量，当=时，余弦项为零，且关于=奇对称，同时在=处有一个零点，使得Hg()=0。具体情况如图所示。 从上图的幅度特性Hg()可以看到，当N =偶数时，以第一类线性相位条件构造出的FIR滤波器，不适合设计数字高通和带阻滤波器。,2019/6/21,13,3、第二类线性相位条件：h(n)=-h(N
5、-n-1)，当N=奇数时，属于情况3。 对于第二类线性相位条件，由于h(n)=-h(N-n-1)，将相同项合并，得 或,2019/6/21,14,由于在=0，2时，Hg()中的正弦项为零，因此，幅度特性Hg()在=0，2处均为零，且Hg()对于=0，2呈奇对称。,2019/6/21,15,4、第二类线性相位条件：h(n)=-h(N-n-1)，当N=偶数时，属于情况4。 分析推导过程和前面N =奇数的情况3相似，不同点是N =偶数。这时 或,2019/6/21,16,由于在=0，2时，Hg()中的正弦项为零，因此，幅度特性Hg()在=0，2处均为零，且Hg()对于=0，2呈奇对称，对于=呈偶对称
6、。具体情况如图所示,2019/6/21,17,以上情况1和情况2可用于选频滤波器，但需要同时注意情况2不适合设计数字高通和带阻滤波器。情况3和情况4对于任何频率都有一个固定的/2相移，通常微分器和90相移器可以采用这两种情况。 6.1.3 线性相位FIR滤波器零点分布和网络结构 线性相位FIR滤波器是众多FIR数字滤波器当中的特例，因此，它的零点分布和网络结构都有其特殊性，下面就分别进行介绍。,2019/6/21,18,1、线性相位FIR滤波器零点分布 FIR滤波器系统函数H(z)在Z平面上有N-1个零点和N-1个极点，极点皆位于原点，而零点可处于有限Z平面内的任何位置。对于第一类和第二类线性
7、相位的FIR滤波器的系统函数，综合起来可以用下式表示： 如果z=zi是系统函数H(z)的零点，其倒数也必定是H(z)的零点。又因为，h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对出现，因此， 和 也是其零点。,2019/6/21,19,线性相位的FIR滤波器系统函数H(z)的零点分布总结成以下四种情况： (1)如果是不在单位圆上的实零点，则以一对零点出现，如图中的z1和 ； (2)如果是不在单位圆上的复数零点，则以四个为一组地出现，它们对应于复数共轭和倒数，如图中的z2、 、 和 ； (3)如果有一零点在单位圆上，它的倒数也就是它的共扼，这样在单位圆上的复数零点就成对出现，如图中的z3和 ；,2
8、019/6/21,20,(4)如果在z=1处的零点，其倒数和复数共轭都是它自己，在图中表示为z4。,2019/6/21,21,2、线性相位FIR滤波器网络结构 设线性相位FIR滤波器的单位序列响应h(n)的长度为N，如果N为偶数，则有 令m=N-n-1，则有 因为FIR滤波器具有线性相位特性，则 h(n) = h(N-n-1),2019/6/21,22,式中“+”代表第一类线性相位，“-” 代表第二类线性相位，可得 如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，可得,2019/6/21,23,第一类线性相位特性的网络结构,2019/6/21,24,第二类线性相位特性的网络结构,2019/6
9、/21,25,6.2 利用窗函数法设计FIR滤波器,6.2.1 窗函数设计法的基本思想 假设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应的单位序列响应，因此有 设计时给出所要设计滤波器Hd(ej)的具体指标，进而得到hd(n)的表达式，再经Z变换即可得到滤波器的系统函数。,2019/6/21,26,假设要求设计一个低通滤波器，其频谱函数Hd(ej)可表示为 相应的单位序列响应hd(n)为 由上式可以看到，理想低通滤波器的单位序列响应hd(n)是一个无限长，且非因果序列。 为了构造一个长度为N的线性相位FIR数字滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对
10、称。,2019/6/21,27,设截取的一段序列用h(n)表示，即,2019/6/21,28,这样实现滤波器的单位序列响应就变为h(n)，它的长度为N，所对应的系统函数为 利用有限长度为N的单位序列响应h(n)去替代hd(n)，会产生误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。吉布斯效应能够引起通带内和阻带内的波动，使阻带内的衰减减小。 吉布斯效应产生的原因是由于将hd(n)直接截断所引起的，因此，它也称为截断效应，如何选择窗函数以减小截断效应，成为线性相位FIR数字滤波器设计的关键。,2019/6/21,29,显然，在利用有限长度为N的单位序列响应h(n)去替代hd(n)时，序列
11、长度N越大，h(n)就越接近于hd(n)，这样所引起的误差就越小。 下面就讨论利用矩形窗进行截断所带来的问题。 时域相乘对应于频域卷积，因此，频域描述为 式中,2019/6/21,30,理想低通滤波器可以表示成为 通过化简以后可得到的系统函数是 线性相位FIR数字低通滤波器的幅度特性H()等于理想低通滤波器幅度特性Hd()和矩形窗幅度特性RN()的卷积。,2019/6/21,31,矩形窗对理想低通滤波器的影响,2019/6/21,32,H()和原理想低通滤波器幅度特性Hd()有着明显的区别，这些差别主要表现在以下几方面： (1)在幅度特性Hd()的不连续点=c附近形成过渡带宽度近似等于RN()
12、主瓣宽度，即4/N。 (2)在过渡带两侧形成持续时间很长，逐渐衰减的波纹，即通带内增加了波动，在c-2/N处出现最大的肩峰值。而阻带内产生了余振，在c+2/N处出现绝对值最大的负肩峰。 以上两点就是用窗函数RN()直接截断Hd()后，在频域中的反映，称之为吉布斯效应。,2019/6/21,33,调控窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，不能减少带内波动和加大阻带衰减。 6.2.2 常用的窗函数 在利用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器时，较为理想的窗函数应具有以下特性： (1)所选窗幅度特性的主瓣应该尽量的窄，同时需要包含尽可能多的能量，以获得较陡的过渡带。 (2)所选窗幅度特性的旁瓣应该尽
13、可能小，使肩峰和波纹减少，从而得到平坦的幅度特性，以及足够的阻带衰减。,2019/6/21,34,1、矩形窗(Rectangle Window) wR(n)= RN(n) 可以得到其频率响应为 主瓣宽度为4/N，第一旁瓣比主瓣低13dB。 2、三角形窗 (Bartlett Window) 三角形窗有时也被称作巴特利特窗，它的时域描述形式为,2019/6/21,35,其频率响应为 主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低26dB。,2019/6/21,36,3、汉宁(Hanning)窗 汉宁窗有时也被称作升余弦窗，它的时域描述形式为 其频率响应为 幅度特性可以表示为 主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低
14、31dB。,2019/6/21,37,4、哈明(Hamming)窗 哈明窗是一种改进型的汉宁窗，它的时域描述形式为 哈明窗的幅度特性可以表示为 这种改进的汉宁窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%，第一旁瓣峰值比主瓣低40dB，但主瓣宽度和汉宁窗相同，仍为8/N。,2019/6/21,38,5、布莱克曼(Blackman)窗 对汉宁窗再加一个二次谐波的余弦分量，这样得到的窗函数就是布莱克曼窗，其时域描述形式为 布莱克曼窗的幅度特性可以表示为 第一旁瓣峰值比主瓣低57dB，但主瓣宽度是矩形窗的3倍，为12/N。,2019/6/21,39,6、凯塞贝塞尔(Kaiser-Basel)窗
15、 凯塞贝塞尔窗有时也简称为凯塞窗，它是一种适应性较强的窗函数族，在旁瓣峰值幅度确定的条件下，可以最大限度地减小主瓣宽度，在各种窗函数中接近最佳。其时域描述形式为 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数。,2019/6/21,40,6.2.3 用窗函数法设计FIR滤波器 用窗函数设计线性相位FIR滤波器步骤如下： 1、根据技术要求确定待求滤波器的单位序列响应hd(n) 给出待求滤波器的频谱函数Hd(ej)，那么单位序列响应hd(n)可以应用下式求出 如果Hd(ej)比较复杂，可以对Hd(ej)在0到2范围内进行M点采样，得到其采样值，应用下式进行计算。,2019/6/21,41,hM(n)与hd(
16、n)应满足如下关系 实际计算上式时，可以用Hd(ej)的M点采样值，进行M点IDFT(IFFT)得到。 如果给定的技术要求为通带和阻带衰减，以及滤波器的边界频率的要求，这时就可以选用理想滤波器作为逼近函数。,2019/6/21,42,2、根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N 由于过渡带近似与窗口长度N成反比，这样就可以表示为 式中，A的选择取决于窗口形式，例如，矩形窗A=4，哈明窗A=8等，根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，其原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数w(n)。,2019/6/21,43,3、计算滤波器的单位序列响应h(n) 在得到hd(n)和w(n)以后，就可以利用下式计算h(n)，即 h(n)hd(n) w(n) 如果要求线
