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1、考试内容,傅立叶级数、傅立叶积分， 函数 三类二阶线性偏微分方程（定解问题、初始条件、边条件的提出） 直角坐标系中分离变量法 分离变量法求解圆的狄利克雷问题 勒让德方程(连带)求解 七类本征值和本征函数,试卷形式,闭卷（120分钟） 填空题（ 5题3分15分） 选择题（ 5题3分15分） 计算题(102+15250分) 计算题（ 20分）,前m阶l次的连带勒让德函数,正交完备基底：函数集合k(x) (k=1,2,3),正交性：,归一性：,正交、归一性：,完备性：,广义傅立叶级数,对于Hilbert空间中的任意平方可积函数均可 按正交完备系的全体展开为平均收敛的级数,任何一个以2l为周期且在x-
2、l,l上分段连续的函数 f(x)，均可按三角函数系展为平均收敛的无穷级数。,周期函数的傅立叶级数,狄氏定理,若f (x)是以2l为周期 的周期函数，且在x-l,l上 满足狄氏条件： f (x)连续，或只有有限个第一类间断点。 f (x)只有有限个极值点。 则f (x)的傅立叶级数收敛。其和函数f1(x),x为连续点,x为间断点,x=l,奇偶函数的傅立叶展开,1、奇周期函数：,奇周期函数可以展开为傅立叶正弦级数,且在0，l 两个端点处满足第一类齐次边条件,偶周期函数可以展开为傅立叶余弦级数， 且在0，l两个端点处满足第二类齐次边条件,2、偶周期函数：,有限区间（0，l）上函数的傅立叶级数,1、在
3、第一类齐次边条件下将f (x)展为傅立叶级数,首先将f (x) 在 -l , 0 上作奇延拓。 然后将其延拓为2l为周期的周期函数F(x),2、在第二类齐次边条件下将f (x)展为傅立叶级数,首先将f (x) 在 -l , 0 上作偶延拓。 然后将其延拓为2l为周期的周期函数G(x),复数形式的傅立叶级数,在以2l为周期的函数空间里，还可以选择另外一套 函数系作为基底。,任何一个以2l为周期的函数f(x)，且在x-l,l上分段 连续。均可按指数函数系展为平均收敛的无穷级数。,傅立叶积分,非周期函数的傅立叶展开,思路：令周期函数傅立叶级数中的周期趋于无穷,非周期函数也可展开为三角函数形式的 傅立
4、叶积分。,傅立叶积分存在条件：,周期函数与有限区间上的函数,可展为傅立叶级数，频谱是分立的。,非周期函数,可展为傅立叶积分，频谱是连续的。,函数和它的傅立叶积分,函数的定义是由函数取值性质和积分性质 共同来构成的。二者缺一不可。,函数的性质, ( -x ) - ( x ), x(x)=0, ( -x ) ( x ),函数的傅立叶积分,数学物理方程,（a为常数）,3.泊松方程和拉氏方程：描述各类稳定问题规律的方程,常见三类二阶线性偏微分方程,1.波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的运动规律,定解条件,1.泛定方程,2.边界条件,3.初条件,4.连接条件,5.自然边条件,初始条件,边条件,描述
5、系统任意时刻，边界状态的定解条件,1. 第一类边条件：直接给出边界上未知函数u的 数值或随时间的变化规律,一般形式：,2.第二类边条件：直接给出未知函数在边界上法向偏 导数的变化规律,一般形式：,1.弦振动问题,2.热传导,两端固定,第一类,两端自由,第二类,两端恒温,第一类,齐次边条件,两端绝热,第二类,4.连接条件,当所研究的系统为不同介质所组成时，在不同介 质的连接处应提连接条件,5.自然边条件,物理问题中所固有的，而不是人为加上去的。 常见的：有界条件 周期条件,二阶常系数、齐次常微分方 程的 一般解法,特征方程,的根为：r1,r2,实根，通解：,通解：,实根，通解：,直角坐标系中的分
6、离变量法,一、基本思想和解题思路,通过分别解X (x)和T (t),求出满足齐次方程 齐次边条件的分离变量的形式解：,三、处理的主要问题,1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题 2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题 3.一维空间非齐次边条件的定解问题 4. 多维空间的定解问题,齐次方程、齐次边条件的 初值边值问题,一、两端固定弦的自由横振动,1.求解过程：,（1）列出定解问题,(2) 分离变量,设形式解:,（3）求解本征值问题：,(4) 求解相应的方程的解（将本征值代入）,(5)构成特解,（6）特解叠加得通解,令通解满足非齐次初条件，求解迭加系数,（2）求解的主要步骤,齐次泛 定方
7、程,T (t)的常 微分方程,X (x)的常 微分方程,齐次边 条件,X (x)的边条件,迭加 特解 得通 解,(3)关于常微分方程的本征值问题,(*),i),ii),iii),iv),弦振动方程,热传导方程,非齐次方程、齐次边条件的 初值边值问题,【例】两端固定弦的受迫振动：,设：弦上单位质量上作用着外力f (x ,t),法一：按本征函数系展开法 法二：齐次化函数法,一、按本征函数系展开法,两端固定弦的自由横振动的解：,主要步骤：,（1）求相应齐次方程齐次边条件的本征函数系,（2）按本征函数系展开u (x ,t)和定解问题中所有 非齐次项，并由方程和初条件分离出Tn (t)的 常微分初值问题
8、。,（3）求解Tn的常微分初值问题，代入u (x ,t)即得结果,二、齐次化函数法,理论依据：线性算子的性质,设：u (x ,t)=v (x ,t) + (x ,t),令 (x ,t)满足：,则v (x ,t) 一定满足,由方程知：xx常数，最简单的(x)Ax2+Bx+C,设： (x)Ax2+Bx+C代入,【例2】求解定解问题,设u=v+代入得：,一、典型例及求解方法,非齐次边问题分离变量求解,解法一：齐次化边条件,令：u (x ,t)=v (x ,t) + (x ,t)，使(x ,t)满足的边条件,则v (x ,t) 满足：,由猜(x ,t)：设(x ,t)A (t) x + B (t)，代
9、入,代入求解,解法二：同时齐次化方程和边条件,设u (x ,t)=v (x ,t) + (x ,t)，令(x ,t)满足 中方程和边条件：,猜(x ,t)，则v满足：,2圆内狄氏问题,【例】半径为a的无限长圆柱形均匀导体，体内无热 源，柱面温度u(a, )=f() 求稳定时导体内稳 定的温度分布。,解：,解为：,解为：,的通解为：,代入r=a处边条件定解：,讨论：,1.自然边条件,什么条件下提自然边条件：,自变数端点个数几何边界个数,ii) 圆内狄氏问题u=u (r,),i) 直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y),iii) 若遇球系 u = u (r , , ),2.简并,解得：,当m0
10、时,问题：若所讨论区域为半圆，即：0ra,0 若所讨论区域为环形，即：arb,02,第五章勒让德函数及其应用,1勒让德方程及其本征值问题,连带勒让德方程,设,代入方程得：,一、勒让德方程的本征值问题,为了求解方便，作变量变换：,三、勒让德本征值问题的解,同理：,解为：,给出前几阶勒让德多项式：,五、应用举例,例1设半径为a导体球的球面温度分布为18cos2， 求解球内稳定温度分布。,解：定解问题,设u (r,)=()R (r)代入中方程及有关边条件,解得：,解：设r=et，则变为：,迭加特解得通解：,代入边条件定解:,法一：,直接比较系数：,【例2】均匀电场E中放入一接地导体球， 半径为a，求
11、 球外电位分布,边条件：,1）r=a处，u (a,)=0（接地 ）,2）r=处,无穷远处电场分布不会受到导体球上感应电荷 的影响，电场仍为匀强场。,3）=0,处仍提有界条件,定解问题,设u (r,)=()R (r)代入中方程及有关边条件,解得：,解得：,通解：,r，r -(l+1) 0，先用r=处的边条件定解：,定解：,直接比较系数：,代入通解,连带勒让德函数,一、连带勒让德方程本征值问题及其解,当u=u (r,)不具有旋转对称性时，经变量分离后 ()所满足的方程为连带勒让德方程,为连带勒让德方程的本征值问题 本征值，m2是的本征值,注：,1） m阶l次连带勒让德函数, l次勒让德函数的m阶导
12、数,是m=0时的连带勒让德函数,的解可写为,4)前几阶次的连带勒让德函数,三、应用举例,解：设uR(r)()()代入中方程及有关边条件,解得：,解得：,解得：,迭加特解得通解：,代入边条件定解：,其中： 由以上三式给出,矩算符，球面函数,一、矩算符及其性质,其中：,只对球面函数起作用,性质,（1）在球面函数空间中，L2是一厄米算符,（2）矩算符的本征值问题及其解：,为矩算符的本征值问题(偏微分方程的）,本征值：？本征函数：Y？,解 得：,通常记作：,由欧拉公式：,量子力学中经常用到的球谐函数的另一种形式为：,矩算符本征值问题解的三种形式,（3）本征值的简并,当l=l(l+1)取定后：,共有2l+1个不 同的本征函数,1个,2l个,L2的本征值是2l+1度简并的,将cos2变形,其中：,而：,解：定解问题（球内）,设u (r,)=R (r) Y( ,)代入中方程及有关边条件，,解得：,解得：,通解：,(1)定解,(2)定解,球外通解,定解（1）,(2),
