《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.1 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 椭椭 圆圆 11 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程 知识点一 椭圆的定义 思考 给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔 尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆 梳理 (1)平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭 圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距 (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2| (3)2
2、a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表： 条件结论 2a|F1F2|动点的集合是椭圆 2a|F1F2|动点的集合是线段 F1F2 2abc 一定成立吗？ 答案 不一定，只需 ab，ac 即可，b，c 的大小关系不确定 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距 焦点在 x 轴上 1(ab0) x2 a2 y2 b2 F1(c,0)，F2(c,0)2c 焦点在 y 轴上 1(ab0) y2 a2 x2 b2 F1(0，c)，F2(0，c)2c (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1
3、(ab0) y2 a2 x2 b2 焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) a，b，c 的关系b2a2c2 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2项的分母哪个更大一些，即 “谁大在谁上” 如方程为1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 y2 5 x2 4 F1(0，1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|2. 1已知 F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到 F1，F2两点的距离之和等于 8 的点的集合是椭 圆() 2已知 F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到 F1，F2两点的距离之和
4、等于 6 的点的集合是椭 圆() 3平面内到点 F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1，F2的距离之和的点 的轨迹是椭圆() 4平面内到点 F1(4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆() 类型一 椭圆定义的应用 例 1 点 P(3,0)是圆 C：x2y26x550 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点， 判断圆心 M 的轨迹 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 解 方程 x2y26x550 化成标准形式为(x3)2y264，圆心为(3,0)，半径 r8.因为 动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定
5、义，动点 M 到两 定点 C，P 的距离之和为定值 86|CP|，所以动点 M 的集合是椭圆 反思与感悟 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视 (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量 (3)常数 2a 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的 限制条件 跟踪训练 1 (1)下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上) 已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点 P 的集合为椭圆； 2 已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点 P 的集合为线段； 到定点 F1(3,0
6、)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 解析 b0) x2 a2 y2 b2 依题意，有Error!Error! 解得Error!Error! 由 ab0，知不合题意，故舍去； 当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(ab0) y2 a2 x2 b2 依题意，有Error!Error!解得Error!Error! 所以所求椭圆的标准方程为1. y2 1 4 x2 1 5 方法二 设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn) 则Error!Error!解得Error!Error! 所以所求椭圆的方程为 5x24y21， 故椭圆
7、的标准方程为1. y2 1 4 x2 1 5 引申探究 求与椭圆1 有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程 x2 25 y2 915 解 由题意可设其方程为1(9)， x2 25 y2 9 又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得 15 11(21 舍去)， 故所求的椭圆方程为1. x2 36 y2 20 反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0) (2)与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)， x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 与椭圆1(ab0)有公共焦点
8、的椭圆方程为1(ab0，b2) y2 a2 x2 b2 y2 a2 x2 b2 跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)； (3)椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1) 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 (1)设其标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由题意可知 2a10，c4，故 b2a2c29， 故所求椭圆的标准方程为1. x2 25 y2 9 (2)设椭圆的一般方程为 Ax2By21
9、(A0，B0，AB)， 则Error!Error!解得Error!Error! 故所求椭圆的标准方程为1. x2 91 3 y2 91 16 (3)设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由Error!Error!解得Error!Error! 故所求椭圆的标准方程为y21. x2 4 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程 例 3 已知 B，C 是两个定点，|BC|8，且ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点 A 的 轨迹方程 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 以 BC 的中点 O 为坐标原点，过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为
10、 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示 由|BC|8 可知点 B(4,0)， C(4,0) 由|AB|AC|BC|18， 得|AB|AC|108|BC|， 因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点 A 不在 x 轴上 由 a5，c4， 得 b2a2c225169. 所以点 A 的轨迹方程为1(y0) x2 25 y2 9 反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接 求解 (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动
11、点 的轨迹方程 (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程 跟踪训练 3 如图，设定点 A(6,2)，P 是椭圆1 上的动点，求线段 AP 的中点 M 的 x2 25 y2 9 轨迹方程 考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求椭圆的标准方程 解 设 M(x，y)，P(x1，y1) M 为线段 AP 的中点， Error!Error! 又1， x2 1 25 y2 1 9 点 M 的轨迹方程为 . x32 25 y12 9 1 4 1椭圆y21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( ) x2 25 A5B6C7D8 考点 椭圆的标准方程
12、 题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，|PF1|2， 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，可得|PF2|8. 2已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( ) A.1B.y21 x2 4 y2 3 x2 4 C.1D.x21 y2 4 x2 3 y2 4 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 A 解析 c1，a ()2，b2a2c23， 1 221202120 椭圆的标准方程为1. x2 4 y2 3 3设 F1，F2是椭圆1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|
13、PF2|21，则 x2 9 y2 4 F1PF2的面积_. 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 解析 由椭圆方程，得 a3，b2，c. 5 |PF1|PF2|2a6 且|PF1|PF2|21， |PF1|4，|PF2|2，且|F1F2|2， 5 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2是直角三角形， 故F1PF2的面积为 |PF1|PF2| 244. 1 2 1 2 4在椭圆y21 中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2出发经椭圆反射后经过另一 x2 3 个焦点 F1，再次被椭圆反射后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为
14、 _ 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 3 解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为 4a，即 4. 3 5若ABC 的三边长 a，b，c 成等差数列，且 b6，求顶点 B 的轨迹方程 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 以直线 AC 为 x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设 A(3,0)，C(3,0)， B(x，y)， 则|BC|AB|ac2b126|AC|， B 点的轨迹是以 A，C 为焦点的椭圆， 且 a6，c3，b227. 故所求的轨迹方程为1(y0) x2 36 y2 27 1平面内到两定点 F
15、1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a， 当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当 2a|F1F2|时，轨迹是线段 F1F2； 当 2a|F1F2|时，轨迹不存在 2所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点在 1 与1 这两个标准方程中，都有 ab0 的要求，如方程 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 1(m0，n0，mn)就不能确定焦点在哪个轴上分清两种形式的标准方程，可 x2 m y2 n 与直线截距式 1 类比，如1 中，由于 ab，所以在 x 轴上的“截距”更大， x a y b x2 a2 y2 b2 因而焦点在 x 轴上(即看 x2，y2分母的大小) 3对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的 定义进行求解 一、选择题 1平面内，F1，F2是两个定点， “动点 M 满足|为常数”是“M 的轨迹是椭圆” MF1 MF2
