《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.1.2 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.1.2 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 余弦定理 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1 在ABC 中,符合余弦定理的是( ). A.c2=a2+b2-2abcos C B.c2=a2-b2-2bccos A C.b2=a2-c2-2bccos A D.cos C = 2+ 2+ 2 2 答案:A 2 已知在ABC 中,bcos A=acos B,则ABC 是( ). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析:由余弦定理得,b 2+ 2 - 2 2 = 2+ 2 - 2 2 , 整理得,a=b.故选 B. 答案:B 3 在ABC 中,若 a=7,b=8,cos C = 13 14,则最大角的余
2、弦值是( ). A. 1 5. 1 6 C. 1 7. 1 8 解析:因为 c2=a2+b2-2abcosC=72+82-278c=3. 13 14 = 9,所以 根据三边的长度知角 B 为最大角, 故 cosB = 2+ 2 - 2 2 = 49 + 9 - 64 2 7 3 = 1 7. 所以 cosB= 1 7. 答案:C 4 在ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于( ). A. 1B. 2 C.2D.4 解析:bcosC+ccosB=b 2+ 2 - 2 2 + 2+ 2 - 2 2 = 22 2 = = 2. 答案:C 5 在ABC 中,内角 A,B,C 的
3、对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3, = 2 3 ,则等于( ). A.30B.60 C.120D.150 解析:根据正弦定理,由 sinC=B 可得 c= 2 32 3, 把它代入 a2-b2a2-b2=6b2, = 3得 即 a2=7b2. 结合余弦定理得 cosA = 2+ 2 - 2 2 = 2+ 122 - 7 2 22 3 = 3 2 . 又0BC,3b=20acos A,则 sin Asin Bsin C 等于( ). A.432B.567 C.543D.654 解析:由题意可设 a=b+1,c=b-1. 3b=20acosA, 3b=20(b+1) 2+ ( - 1)
4、2- ( + 1)2 2( - 1) , 整理得 7b2-27b-40=0, 解得 b=5,故 a=6,b=5,c=4, 即 sinAsinBsinC=abc=654. 答案:D 3 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B= 3,则角的大小为( ). A. 6. 3 C. 6或 5 6 . 3或 2 3 解析:(a2+c2-b2)tanB= 3, B 2+ 2 - 2 2 = 3 2 , 即 cosBtanBBB = 3 2 ,= 3 2 , = 3或 = 2 3 . 答案:D 4 在ABC 中,A=120,c=5,a=7,则 = . 解析:由
5、余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, 即 49=b2+25+5b, 解得 b=3 或 b=-8(舍去), 所以 = = 3 5. 答案: 3 5 5 在ABC 中,若 B=60,2b=a+c,则ABC 的形状是 . 解析:根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB. B=60,2b=a+c, 60, ( + 2 ) 2= 2 + 2 2 整理得(a-c)2=0,故 a=c. 又 B=60,ABC 是等边三角形. 答案:等边三角形 6 在ABC 中,a2+c2=b2+ 2. (1)求 B 的大小; (2)求 2 + 的最大值. 解(1)由余弦定理及题设得 cosB = 2+ 2
6、 - 2 2 = 2 2 = 2 2 . 又因为 0B,所以 B = 4. (2)由(1)知 A+C = 3 4 . A+cosCA+co 2=2 (3 4 - ) AAA =2 2 2 + 2 2 AA=co = 2 2 + 2 2 ( - 4). 因为 0A 3 4 , 所以当 AA+cosC 取得最大值 1. = 4时, 2 7 在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,4sin2 + 2 2 = 7 2. (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3, + = 3,求和的值. 解(1)由 4sin2AA+B+C=180, 2 + 2 = 7 2及 得 21-cos(B+C
7、)-2cos2A+1 = 7 2, 整理得 4(1+cosA)-4cos2A=5, 即 4cos2A-4cosA+1=0, 故(2cosA-1)2=0, 解得 cosA = 1 2. 0A180,A=60. (2)由余弦定理,得 cosA = 2+ 2 - 2 2 . cosA = 1 2, ,得(b+c)2-a2=3bc, 2+ 2 - 2 2 = 1 2,化简并整理 32-bc=2. ( 3)2 = 3,即 则由 + = 3, = 2, ? 解得 = 1, = 2 ? 或 = 2, = 1. ? 8 在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)
8、sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断ABC 的形状. 解(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 得 cosA= 1 2. 又 A(0,),故 A = 2 3 . (2)由(1)中 a2=b2+c2+bc 及正弦定理, 可得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC, BsinC, 即( 3 2) 2= 2 + 2 + 又 sinB+sinC=1, sinB=sinC = 1 2. 又 0B,C 3, = = 6. ABC 为等腰三角形,且是钝角三角形.
