《数学建模课件4548讲48讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模课件4548讲48讲（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第48讲 微分方程数值解,数学建模,描述自然世界客观规律的模型很多都是微分方程模型，但是很多都没有解析解，需要求出其数值解以满足需求。,假设其存在唯一且足够光滑的解,所谓数值解，就是寻求解在一些离散点，也被称之为节点， 处的近似值 。相邻2个节点的间距 ，一般取为常数 ， 此时 。,（1）,数学建模,Euler法,首先对（1）中的微分方程两端在区间 上积分，得到 利用左矩形公式计算右端积分，再用近似值 代替 ，则,Euler方法,数学建模,Euler法几何意义,为方程的精确解 ，在区间 上，用过点 、以 为斜率的直线 ，近似代替 ，用该直线与直线 的交点的纵坐标近似代替 。,Euler法也称为
2、折线法,数学建模,例：求解,表11.3 用Euler方法计算得到的结果,称方法具有一阶精度。,数学建模,利用右矩形公式计算(2)右端的积分，再用近似值 代替 ，则,向后Euler公式,向后Euler公式是一个隐式公式，无法直接计算出 ，所以大多数时候，应用该公式要结合Euler公式计算，先用Euler公式计算出中间值（预估值）。,再用向后Euler公式计算校正值,如果 收敛，则取 。向后Euler公式仍然只具有一阶精度。,数学建模,利用Matlab求解微分方程, syms y mu; y=dsolve(D2y+mu*(y2-1)*Dy+y=0) Warning; Compact, analyt
3、ic solution could not be found. dsolve命令不能够求出方程的解析解,dsolve 求解常微分方程的解析解 语法： dsolve（f1,f2,.,fm）,f1,f2,.,fm为微分方程，也可以是初值条件。Matlab中采用Dky表示y对x的k阶导数。,例： 求解 y=dsolve(D2y=sin(t) y= sin(t)+C1*t+C2 这里C1和C2为任意常数,例： 求解,数学建模,利用Matlab求解微分方程,ode45/ode23 求解常微分方程数值的函数 语法： t,x=ode45ode23(Fun,t_0,t_f,x_0),Fun表示指定的M文件给出
4、的常微分方程函数；t_0,t_f为自变量取 值；x_0表示方程的初始条件。Ode45和ode23分别用4（5）阶和2（3）阶Runge-Kutta方法求解。,例： 求解,建立函数文件fun2.m function xdot=fun2(t,theta) g=9.8; l=1; m=1; lamda=0.1; xdot=theta(2);-g*sin(theta(1)/1-lamda*theta(2)/m;,数学建模,Matlab求解微分方程,command window中键入： theta0=pi/12,0; t,theta=ode23(fun2,0,100,theta0); plot(t,th
5、eta(:,1),这个方程组是单摆在粘性介质中摆动的模型，可以看出单摆的运动最后趋于静止。,数学建模,Matlab求解微分方程,例： 求解 其中 。,首先编写M文件lorenzeq.m来描述方程组。 function xdot=lorenzeq(t,x) xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3); 然后在命令窗口设定求解区域并给定初值进行求解 t_final=100;x0=0;0;1e-10; t,x=ode45(lorenzeq,0,t_final,x0); plot(t,x)；,数学建模,Thank you,微分方程数值解,
