《2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十立体几何大题练》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十立体几何大题练(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、课时跟踪检测(十) 立体几何 (大题练)A卷大题保分练1.(2018洛阳模拟)如图,在四棱锥PABCD中,E,F分别是PC,PD的中点,底面ABCD是边长为2的正方形,PAPD2,且平面PAD平面ABCD.(1)求证:平面AEF平面PCD;(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值解:(1)证明:由题意知,PAPDAD,F为PD的中点,可得AFPD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CD平面ABCD,CDAD,CD平面PAD.又AF平面PAD,CDAF,又CDPDD,AF平面PCD,又AF平面AEF,平面AEF平面PCD.(2)取AD的中点O,BC的中点G,连接OP,
2、OG,PAPDAD,OPAD.平面PAD平面ABCD,OP平面PAD,OP平面ABCD.分别以OA,OG,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(1,2,0),E,F,(0,1,0)设平面AEF的法向量为m(x,y,z),则即可取m(1,0,),为平面AEF的一个法向量同理,可得平面ACE的一个法向量为n(,1)cosm,n.平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.2.(2018山西八校联考)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,CC1底面ABC,ACBCCC12,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,G是棱BB1上的动点(1)
3、当为何值时,平面CDG平面A1DE?(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值解:(1)当,即G为BB1的中点时,平面CDG平面A1DE.证明如下:因为点D,E分别是AB,BC的中点,所以DEAC且DEAC,又ACA1C1,ACA1C1,所以DEA1C1,DEA1C1,故D,E,C1,A1四点共面如图,连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中,tanC1EC2,tanBCG,故CHE90,即CGC1E.因为A1C1平面CBB1C1,CG平面CBB1C1,所以DECG,又C1EDEE,所以CG平面A1DE,故平面CDG平面A1DE.(2)由(1)知,当G为BB1的中点时,平面A
4、1DE的一个法向量为.三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,CC1底面ABC,所以以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示因为ACBCCC12,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,所以C(0,0,0),A1(2,0,2),D(1,1,0),E(0,1,0),B(0,2,0),F(0,1,2),G(0,2,1),(2,2,2),(2,1,0),(0,2,1)由CD知为平面A1DE的一个法向量设平面A1BF的法向量为n(x,y,z),则即令x1得n(1,2,1),为平面A1BF的一个法向量设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为,则
5、cos ,所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为.3如图,在矩形ABCD中,AB4,AD2,E是CD的中点,将ADE沿AE折起,得到如图所示的四棱锥D1ABCE,其中平面D1AE平面ABCE.(1)设F为CD1的中点,试在AB上找一点M,使得MF平面D1AE;(2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值解:(1)如图,取D1E的中点,记为L,连接AL,FL,则FLEC,又ECAB,FLAB,且FLAB,M,F,L,A四点共面,且平面D1AE平面AMFLAL,若MF平面D1AE,则MFAL,四边形AMFL为平行四边形,AMFLAB.(2)取AE的中点O,过点O作OGAB于G,
6、OHBC于H,连接OD1.AD1D1E,D1OAE,D1O平面ABCE,D1OOG,D1OOH,又易得OGOH,故OG,OH,OD1两两垂直,以O为坐标原点,OG,OH,OD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示则B(1,3,0),C(1,3,0),E(1,1,0),D1(0,0,)故(1,3,),(1,3,),(0,2,0)设平面CD1E的一个法向量为m(x,y,z),则即取x,得m(,0,1)设直线BD1与平面CD1E所成的角为,则sin |cosm,|.即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.4.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形, BAD60,四
7、边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,BF3,H是CF的中点(1)求证:AC平面BDEF;(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值;(3)求二面角HBDC的大小解:(1)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD.又平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCDBD,且AC平面ABCD,AC平面BDEF.(2)设ACBDO,取EF的中点N,连接ON,四边形BDEF是矩形,O,N分别为BD,EF的中点,ONED.ED平面ABCD,ON平面ABCD.由ACBD,得OB,OC,ON两两垂直以O为原点,OB,OC,ON所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系底面ABCD是边
8、长为2的菱形,BAD60,BF3,A(0,0),B(1,0,0),D(1,0,0),E(1,0,3),F(1,0,3),C(0,0),H.AC平面BDEF,平面BDEF的法向量(0,2,0)设直线DH与平面BDEF所成角为,sin |cos,|,直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为.(3)由(2),得,(2,0,0)设平面BDH的法向量为n(x,y,z),则令z1,得n(0,1)由ED平面ABCD,得平面BCD的法向量为(0,0,3),则cosn,由图可知二面角HBDC为锐角,二面角HBDC的大小为60.B卷深化提能练1.(2019届高三辽宁五校联考)如图,在四棱锥EABCD中,底面ABCD
9、为直角梯形,其中CDAB,BCAB,侧面ABE平面ABCD,且ABAEBE2BC2CD2,动点F在棱AE,且EFFA.(1)试探究的值,使CE平面BDF,并给予证明;(2)当1时,求直线CE与平面BDF所成角的正弦值解:(1)当时,CE平面BDF.证明如下:连接AC交BD于点G,连接GF(图略),CDAB,AB2CD,EFFA,GFCE,又CE平面BDF,GF平面BDF,CE平面BDF.(2)如图,取AB的中点O,连接EO,则EOAB,平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCDAB,EO平面ABCD,连接DO,BOCD,且BOCD1,四边形BODC为平行四边形,BCDO,又BCAB,ABO
10、D,则OD,OA,OE两两垂直,以OD,OA,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,)当1时,有,F,(1,1,0),(1,1,),.设平面BDF的法向量为n(x,y,z),则有即令z,得y1,x1,则n(1,1,)为平面BDF的一个法向量,设直线CE与平面BDF所成的角为,则sin |cos,n|,故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.2.(2018山东潍坊模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD内接于圆O,AC是圆O的一条直径,PA平面ABCD,P
11、AAC2,E是PC的中点,DACAOB.(1)求证:BE平面PAD;(2)若二面角PCDA的正切值为2,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解:(1)证明:DACAOB,ADOB.E为PC的中点,O为圆心,连接OE,OEPA,又OBOEO,PAADA,平面PAD平面EOB,BE平面EOB,BE平面PAD.(2)四边形ABCD内接于圆O且AC为直径,ADCD,又PA平面ABCD,PACD,又PAADA,CD平面PAD,CDPD,PDA是二面角PCDA的平面角,tanPDA2,PA2,AD1,如图,以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建
12、立空间直角坐标系Dxyz.PAAC2,AD1,延长BO交CD于点F,BOAD,BFCD,BFBOOF,BF1,又CD,DF,P(1,0,2),B,C(0,0),(1,2),(0,0),设平面PCD的法向量n(x,y,z),即令z1,则x2,y0.n(2,0,1)是平面PCD的一个法向量,又,|cos,n|,直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.3.(2018合肥一模)如图,已知平行四边形ABCD与EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直,且BAD60,ABMN2AD2,EMEN,F为MN的中点(1)求证:MNAD;(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60,求二面角MABC的余弦值解:
13、(1)证明:在ABD中,BAD60,AB2,AD1,由余弦定理可得BD2AB2AD22ABADcosBAD2212221cos 603,所以BD,AD2BD2AB2,所以ADBD.又平面ABCD平面BDEF,平面ABCD平面BDEFBD,所以AD平面BDEF.在EMN中,EMEN,F为MN的中点,所以MNEF,又平面EMN平面BDEF,平面EMN平面BDEFEF,所以MN平面BDEF.所以MNAD.(2)在矩形BDEF中,EDBD,又平面ABCD平面BDEF,平面ABCD平面BDEFBD,所以ED平面ABCD.所以EAD为直线AE与平面ABCD所成的角,故EAD60.在RtEAD中,EDADtanEAD1tan 60.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,0),E(0,0,),F(0,),M(1,),(0,),(1,0)因为DE平面ABCD,所以(0,0,)为平面ABCD的一个法向量设平面MAB的法向量为n(x,y,z),所以即整理得令y1,则x,z1,所以n(,1,1)是平面MAB的一个法向量所以cos ,n.设二面角MABC的大小为,由图可知为钝角,所以cos cos,n.4已