《2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用 章末复习 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章 导数及其应用 章末复习 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末复习章末复习 学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运 算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了 解定积分的概念及其简单的应用 1导数的概念 (1)定义：函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 ，称为函数 yf(x)在 lim x0 fx0xfx0 x xx0处的导数 (2)几何意义：函数 yf(x)在 xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，表 示为 f(x0)，其切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 2基本初等函数的导数公式 (1)c0. (2)(x)x1. (3
2、)(ax)axln a(a0) (4)(ex)ex. (5)(logax)(a0，且 a1) ( ln x ln a) 1 xln a (6)(ln x) . 1 x (7)(sin x)cos x. (8)(cos x)sin x. 3导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)(g(x)0) fx gx fxgxfxgx gx2 4复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：yf(g(x) (2)中间变量代换：yf(u)，ug(x) (3)逐层求导法则：yxyuux. 5函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数
3、 在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x) 0，当 xa 时，f(x)a 时，f(x)0，则 点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值 (3)求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； 将函数 yf(x)的极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最 小的一个就是最小值 6微积分基本定理 如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a) b a 7定积分的性质 (1) kf(x)dxk f(x)dx(k
4、 为常数) b ab a (2) f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx. b ab ab a (3) f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中 a0.( ) b a 类型一 导数几何意义的应用 例 1 设函数 f(x) x3ax29x1(a0)，直线 l 是曲线 yf(x)的一条切线，当 l 的斜率最 1 3 小时，直线 l 与直线 10xy6 平行 (1)求 a 的值； (2)求 f(x)在 x3 处的切线方程 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 求曲线的切线方程 解 (1)f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina29， 由题意知a2910，a1
5、或1(舍去) 故 a1. (2)由(1)得 a1， f(x)x22x9， 则 kf(3)6，f(3)10. f(x)在 x3 处的切线方程为 y106(x3)， 即 6xy280. 反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两 种：一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即 可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，由f(x1)和 y1f(x1)，求出 x1，y1的值，转化为第一种类型 y0y1 x0x1 跟踪训练 1 直线 ykxb 与曲线 yx3ax1 相切于点(
6、2,3)，则 b . 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 15 解析 由题意知 f(2)3，则 a3. f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)32239k， 又点(2,3)在直线 y9xb 上， b39215. 类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例 2 设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 (1)解 由 f(x)ex2x2a，xR， 知 f(x)ex2，xR. 令 f(x)0，得
7、xln 2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，ln 2)ln 2(ln 2，) f(x) 0 f(x)极小值 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在 xln 2 处取得极 小值，极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a) (2)证明 设 g(x)exx22ax1，xR， 于是 g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当 aln 21 时，g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意 xR，都有 g(x)0， 所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 aln 21 时，对任意
8、 x(0，)，都有 g(x)g(0) 而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0， 即 exx22ax10， 故 exx22ax1. 反思与感悟 本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不 等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力 跟踪训练 2 已知函数 f(x)xln x. (1)求 f(x)的最小值； (2)若对所有 x1 都有 f(x)ax1，求实数 a 的取值范围； (3)若关于 x 的方程 f(x)b 恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)f(x)的定义域是(0，)，f
9、(x)1ln x， 令 f(x)0，解得 x ，令 f(x)0 时，x4 或 x 时，y0， 9 4 9 4 9 8 即单调递增区间为，故选 D. 9 8，) 4体积为 16 的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 2 解析 设圆柱底面半径为 r，母线长为 l. 16r2l，即 l. 16 r2 则 S表面积2r22rl2r22r2r2， 16 r2 32 r 由 S4r0，得 r2. 32 r2 当 r2 时，圆柱的表面积最小 5已知函数 f(x)过点(1，e) exb x (1)求 yf(x)的单调区间； (2)
10、当 x0 时，求的最小值； fx x (3)试判断方程 f(x)mx0(mR 且 m 为常数)的根的个数 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)由函数 f(x)过点(1，e)，得 e1be，即 b0， exb x f(x)(x0)，f(x)， ex x exx1 x2 令 f(x)0，得 x1，令 f(x)0， fx x ex x2 g(x)， exx22x x4 令 g(x)0，解得 x2 或 x0(舍去)，当 x(0,2)时，g(x)0， g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增， 的最小值为 g(2). fx x e2 4 (3)方程 f(x)mx0(
11、mR 且 m 为常数)等价于 mg(x)， fx x g(x)，易知当 x0. exx22x x4 结合(2)可得函数 g(x)在区间(0,2) 上单调递减，在(，0)，(2，)上单调递增 原问题转化为 ym 与 yg(x)的交点个数，其图象如图， 当 m0 时，方程 f(x)mx0(mR 且 m 为常数)的根的个数为 0； 当 0时，方程 f(x)mx0(mR 且 m 为常数)的根的个数为 3. e2 4 1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy0f(x0)(xx0)明确 “过点 P(x0，y0)的曲线 yf(x)的切线方程”与“在点 P(x0，y0)处的曲线 yf(x)
12、的切线方程” 的异同点 2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数 形结合于一体 3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问 题 4不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标. 一、选择题 1已知函数 f(x) sin x，且 2，则 a 的值为( ) a lim h0 f1hf1 h A2 B2 C2 D2 考点 导数的概念 题点 导数的概念的简单应用 答案 A 解析 2， lim h0 f1hf1 h f(1)2，f(x) sin x， a f(x)acos
13、 x，acos 2， a2，故选 A. 2设曲线 yf(x)在某点处的导数值为 0，则过曲线上该点的切线( ) A垂直于 x 轴 B垂直于 y 轴 C既不垂直于 x 轴也不垂直于 y 轴 D方向不能确定 考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义 答案 B 解析 曲线 yf(x)在某点处的导数值为 0， 切线的斜率为 0，故选 B. 3若函数 f(x)的导数是 f(x)x(ax1)(a0， 当22 时，f(x)0， 故函数 f(x)有极小值 f(2)，故选 D. 6已知 aln x 对任意 x恒成立，则 a 的最大值为( ) 1x x 1 2，2 A0 B1 C2 D3 考点 利用导数求
14、函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A 解析 令 f(x)ln x， 1x x f(x)， 1 x(1 1 x) 当 x时，f(x)0，f(x)单调递增， f(x)f(1)0，则 a0，即 a 的最大值为 0. 7若函数 f(x) x3x22bx 在区间3,5上不是单调函数，则函数 f(x)在 R 上的极大 1 3 (1 b 2) 值为( ) A. b2 b3 B. b 2 3 1 6 3 2 2 3 C2b D0 4 3 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题 答案 C 解析 f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)， 函数 f(x)在区间3,5上不是单调函数， 30，得 xb， 由 f(x)0)在1，)上的最大值为，则实数 a 的值为 x x2a 3 3 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 1 3 解析 f(x)，令 f(x)0，得 x， ax2 x2a2 a 当 x时，f(x)0，f(x)单调递增 aa 若1，即 a1， a 则当 x1，)时，f(x)maxf()， a a 2a 3 3 解得
