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1、3.23.2 平面向量基本定理平面向量基本定理 内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基 本定理解题(难点) 知识点 1 平面向量基本定理 (1)定理：如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a a，存在唯一一对实数1，2，使a a1e e12e e2. (2)基底：把不共线的向量e e1，e e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 【预习评价】 (1)0 能不能作为基底？ 提示 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底 (2)平面向量的基底唯一吗？ 提示 不唯一，只要两个向量不共线，都可以
2、作为平面内所有向量的一组基底 题型一 对向量基底的理解 【例 1】 如果e e1，e e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 _ e e1e e2(、R R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a a，使a ae e1e e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e e11e e2与2e e12e e2共线，则有且只有一个实数，使得 1e e11e e2(2e e12e e2)； 若存在实数，使得e e1e e20，则0. 解析 由平面向量基本定理可知，是正确的 对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基 底下的实数对是唯一的 对于，当
3、两向量的系数均为零，即12120 时，这样的有无数个 答案 规律方法 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个 平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 【训练 1】 设e e1，e e2是平面内一组基向量，且a ae e12e2e2，b be e1e e2 2，则向量e e1e e2 2 可以表示为另一组基向量a a，b b的线性组合，即e e1e e2_a a_b b. 解析 由题意，设e e1e e2ma anb b. 因为a ae e12e e2，b be e1e e2， 所以e e1e e2m(e e12e e2)n(e e
4、1e e2)(mn)e e1(2mn)e e2. 由平面向量基本定理，得Error! 所以Error! 答案 2 3 1 3 【例 2】 设D为ABC所在平面内一点，3，则( ) BC CD A. B. AD 1 3AB 4 3AC AD 1 3AB 4 3AC C. D. AD 4 3AB 1 3AC AD 4 3AB 1 3AC 解析 由题得 AD AC CD AC 1 3BC .故选 A. AC 1 3AC 1 3AB 1 3AB 4 3AC 答案 A 【迁移 1】 在例题中将“3”改为“”试用、表示. BC CD BC CD AB AC AD 解 AD AC CD AC BC 2. A
5、C AC AB AC AB 【迁移 2】 在例题中将“3”改为“3”试用，表示向量. BC CD BC CD AB AC AD 解 由题 AD AC CD AC ( 1 3BC ) AC 1 3(AC AB ) AC 1 3AC 1 3AB . 2 3AC 1 3AB 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点 (1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系 (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等 (3)一个重要结论：设a a、b b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a ay1b bx2a ay2b b， 则有Error! 题型三 平面向量
6、基本定理的应用 【例 3】 如图，ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设a a，c c. BA BC (1)用a a，c c表示向量； AE (2)若点F在AC上，且a ac c，求AFCF. BF 1 5 4 5 解 (1)c ca a， AC BC BA (c ca a)， AD 1 2AC 1 2 () AE 1 2 AB AD 1 2AB 1 2AD a a (c ca a) 1 2 1 4 c ca a. 1 4 3 4 (2)设， AF AC BF BA AF BA AC a a(c ca a) (1)a ac c. 又a ac c， BF 1 5 4 5 ， 4 5 ，
7、 AF 4 5AC AFCF41. 【训练 2】 设e e1，e e2是不共线的非零向量，且a ae e12e e2，b be e13e e2. (1)证明：a a，b b可以作为一组基底； (2)以a a，b b为基底，求向量c c3e e1e e2的分解式； (3)若 4e e13e e2a ab b，求，的值 (1)证明 设a ab b(R R)， 则e e12e e2(e e13e e2) 由e e1，e e2不共线得 Error!即Error! 不存在，故a a与b b不共线，可以作为一组基底 (2)解 设c cma anb b(m、nR R)，则 3e e1e e2m(e e12e
8、 e2)n(e e13e e2) (mn)e e1(2m3n)e e2. Error!即Error! c c2a2ab.b. (3)由 4e e13e e2a ab b，得 4e e13e e2(e e12e e2)(e e13e e2) ()e e1(23)e e2. Error!即Error! 故所求、的值分别为 3 和 1. 课堂达标 1设e e1，e e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) Ae e1e e2和e e1e e2B3e e14e e2和 6e e18e e2 Ce e12e e2和 2e e1e e2De e1和e e1e e2 解析 B
9、 中，6e e18e e22(3e e14e e2)， (6e e18e e2)(3e e14e e2)， 3e e14e e2和 6e e18e e2不能作为基底 答案 B 2.如图，已知a a，b b，3，用a a，b b表示，则等于( ) AB AC BD DC AD AD Aa ab b B.a ab b 3 4 1 4 3 4 C.a ab b D.a ab b 1 4 1 4 3 4 1 4 解析 ()a ab b. AD AB BD AB 3 4BC AB 3 4 AC AB 1 4AB 3 4AC 1 4 3 4 答案 B 3如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和B
10、C的中点，若， AC AE AF 其中、R R，则_. 解析 设a a，b b，则a ab b，a ab b， AB AD AE 1 2 AF 1 2 又a ab b， AC ()，即 ， . AC 2 3 AE AF 2 3 4 3 答案 4 3 4已知G为ABC的重心，设a a，b b.则用a a、b b表示向量_. AB AC AG 解析 如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点， () AG 2 3AD 2 3 AB BD 2 3(AB 1 2BC ) 2 3AB 1 3BC ()a ab b. 2 3AB 1 3 AC AB 1 3AB 1 3AC 1 1 3 3 1 3
11、 答案 a ab b 1 3 1 3 5设M、N、P是ABC三边上的点，它们使，若 BM 1 3BC CN 1 3CA AP 1 3AB a a，b b，试用a a，b b将、 、表示出来 AB AC MN NP PM 解 如图， MN CN CM 1 3CA 2 3CB () 1 3AC 2 3 AB AC b ba a. 1 3AC 2 3AB 1 3 2 3 同理可得a ab b. NP 1 3 2 3 ()a ab b. PM MP MN NP 1 3 1 3 课堂小结 1对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：一组基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面 内两向量
12、不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件 (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量 2准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选 择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 基础过关 1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与 AD AB DA BC CA ；与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) D
13、C OD OB AB CD 解析 由基底的定义知，中两向量不共线，可以作为基底 答案 B 2如图所示，在矩形ABCD中，5e e1，3e e2，则等于( ) BC DC OC A. (5e e13e e2) B. (5e e13e e2) 1 2 1 2 C. (3e e25e e1) D. (5e e23e e1) 1 2 1 2 解析 () (5e e13e e2) OC 1 2AC 1 2 BC BA 1 2 答案 A 3在四边形ABCD中，a a2b b，4a ab b，5a a3b b，则四边形ABCD的形状是 AB BC CD ( ) A长方形B平行四边形 C菱形D梯形 解析 8a a2b b2 ，故为梯形 AD AB BC CD BC 答案 D 4已知10，20，e e1，e e2是一组基底，且a a1e e12e e2，则a a与e e1_，a a 与e e2_(填共线或不共线) 解析 若a a与e e1共线，则存在实数使a ae e11e e12e e2，则e e1与e e2共线，这与 e e1，e e2不共线矛盾 答案 不共线 不共线 5已知e e1
