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1、8080 分分 解答题标准练解答题标准练( (二二) ) 1(2018威海模拟)在ABC中,边BC上一点D满足ABAD,ADDC. 3 (1)若BD2DC2,求边AC的长; (2)若ABAC,求 sin B. 解 (1)ABAD, 在 RtABD中,sinABD, AD BD 3 2 ABD60,AB1. 在ABC中,AB1,BC3,由余弦定理可得, AC2AB2BC22ABBCcosABC 19213 7, 1 2 AC. 7 (2)在ACD中,由正弦定理可得, AD sin C DC sinDAC ADDC, 3 , 3 sin C 1 sinDAC ABAC,BC, BAC1802B,
2、BAD90, DACBACBAD 1802B90902B, , 3 sin B 1 sin902B , 3 sin B 1 cos 2B 化简得 2sin2Bsin B0, 33 即(sin B1)(2sin B)0, 33 sin B0,sin B. 3 3 2(2018安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,已知 B1C1A190,异面直线AB1A1C,且AA1AC. (1)求证:平面ACC1A1平面A1B1C1; (2)若AC1AA1B1C1,求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值 (1)证明 因为AA1AC, 所以四边形ACC1A1是菱形, 所以A1CA
3、C1, 又因为异面直线AB1A1C,AC1AB1A, AB1,AC1平面AB1C1, 所以A1C平面AB1C1, 又B1C1平面AB1C1, 所以A1CB1C1. 又因为B1C1A190, 即B1C1A1C1, 且A1C1A1CA1,A1C,A1C1平面ACC1A1, 所以B1C1平面ACC1A1, 又B1C1平面A1B1C1, 所以平面ACC1A1平面A1B1C1. (2)解 设O是A1C1的中点, 因为AC1AA1, 所以AOA1C1, 由(1)可知,AO平面A1B1C1, 以O为坐标原点,过点O且与C1B1平行的直线为x轴, 以OC1所在直线为y轴, 以OA所在直线为z轴, 建立空间直角
4、坐标系Oxyz, 设AA12, 则A(0,0,),A1(0,1,0), 3 C1(0,1,0),B1(2,1,0), 设A1C1与平面ABB1A1所成的角为, 因为 (0,2,0),(2,2,0),(0,1,), A1C1 A1B1 A1A 3 设平面ABB1A1的一个法向量是n n(x,y,z), 则Error!即Error! 不妨令x1, 则y1,z,可得n n, 3 3 (1,1, 3 3) 所以 sin |cos,n n|, A1C1 2 2 7 3 21 7 所以直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值为. 21 7 3(2018山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛
5、中,参与竞赛的文科生 与理科生人数之比为 13,且成绩分布在40,100内,分数在 80 以上(含 80)的同学获 奖按文、理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图 (见下图) (1)填写下面的 22 列联表,判断能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” ? 文科生理科生总计 获奖 5 不获奖 总计 200 (2)将上述调査所得的频率视为概率,现从该校参与竞赛的学生中,任意抽取 3 名学生,记 “获奖”学生人数为X,求X的分布列及期望 附表及公式:K2,nabcd. nadbc 2 abcdacbd 其中nabcd. P(K2k0)0.150
6、.100.050.0250.0100.005 k02.0722.7063.8415.0246.6357.879 解 (1) 文科生理科生总计 获奖 53540 不获奖 45115160 总计 50150200 K24.1673.841, 200 5 11535 452 50 150 40 160 25 6 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” (2)由表中数据可知,将频率视为概率,从该校参赛学生中任意抽取一人,抽到获奖同学的 概率为 . 1 5 X的所有可能的取值为 0,1,2,3,且XB. (3, 1 5) P(Xk)C k3k(k0,1,2,3) k3 ( 1 5) (
7、1 1 5) P(X0)C 030 , 0 3 ( 1 5) ( 4 5) 64 125 P(X1)C 131 , 1 3 ( 1 5) ( 4 5) 48 125 P(X2)C 21 , 2 3 ( 1 5) ( 4 5) 12 125 P(X3)C 30 , 3 3 ( 1 5) ( 4 5) 1 125 所以X的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 E(X)3 . 1 5 3 5 4(2018安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F(c,0), x2 a2 y2 b2 右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积为,过点E
8、的动直线l被椭圆C所截得 b2 2 的线段MN长度的最小值为. 4 6 3 (1)求椭圆C的方程; (2)B是椭圆C上异于顶点的一点,且直线OBl,D是线段OB延长线上一点,且 |DB|MN|,D的半径为|DB|,OP,OQ是D的两条切线,切点分别为P,Q,求POQ 7 5 的最大值,并求出取得最大值时直线l的斜率 解 (1)由已知,可得 (ca)c. 1 2 b2 2 又由b2a2c2,可得 2c2aca20,解得a2c, 设椭圆C的方程为1, x2 4c2 y2 3c2 当直线l的斜率不存在时,线段MN的长为 2c; 3 当直线l的斜率存在时,设l的方程为ykxc, 由Error!得(4k
9、23)x28kcx8c20, (8kc)232c2(4k23)0, 从而|MN| k21 4k23 4 6ck21 2k21 4k23 2c 3 4 k244k22 4 k232 2c3, , 1 u (0, 1 3) 因此 |OB| r 5 7 u2 3 u7u1 1, 5 7 1 34 u 7 u2 5 (7 u2)225 当且仅当 2,即u 时等号成立, 7 u 7 2 此时k,所以 sin , 2 4 POQ 2 1 2 因此,所以POQ的最大值为. POQ 2 6 3 综上所述,POQ的最大值为, 3 取得最大值时直线l的斜率k. 2 4 5(2018四川省成都市第七中学模拟)已知函
10、数f(x)(x0,aR R) 3xexa x (1)当a 时,判断函数f(x)的单调性; 3 4 (2)当f(x)有两个极值点时,若f(x)的极大值小于整数m,求m的最小值 解 (1)由题意知, f(x) ex3x e xx3x e xa x2 (x0) x23x3exa x2 令h(x)(x23x3)exa(x0), 则h(x)(x2x)ex, 当 00,h(x)为增函数; 当x1 时,h(x) , 3 4 所以h(x)maxh(1)ea0), 则h(x)(x2x)ex, 当 00,h(x)为增函数; 当x1 时,h(x)0, h e 3 2 a2. (1, 3 2) 又由得a 2 ex(x
11、3x23), 2 2 把它代入得f(x2)(2x2) 2 ex, 所以当x2时,f(x2)(1x2) 2 exf 3 2 e2. ( 3 2) 1 2 所以满足题意的整数m的最小值为 3. 6在数列an中,Sn14an2,a11. (1) 设cn,求证:数列cn是等差数列; an 2n (2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式 (1)证明 Sn14an2, 当n2,nN N*时,Sn4an12. 得an14an4an1. 方法一 对an14an4an1两边同除以 2n1,得 2, an1 2n1 an 2n an1 2n1 即2, an1 2n1 an1 2n1 an 2n 即cn1cn1
12、2cn, 数列cn是等差数列 由Sn14an2,得a1a24a12, 则a23a125, c1 ,c2 , a1 2 1 2 a2 22 5 4 故公差d , 5 4 1 2 3 4 cn是以 为首项, 为公差的等差数列 1 2 3 4 方法二 an12an2an4an1 2(an2an1), 令bnan12an, 则bn是以a22a14a12a12a13 为首项,2 为公比的等比数列, bn32n1, cn, an 2n cn1cn an1 2n1 an 2n an12an 2n1 , bn 2n1 3 2n1 2n1 3 4 c1 , a1 2 1 2 cn是以 为首项, 为公差的等差数列 1 2 3 4 (2)解 由(1)可知数列是首项为 ,公差为 的等差数列, an 2n 1 2 3 4 (n1) n ,an(3n1)2n2是数列an的通项公式 an 2n 1 2 3 4 3 4 1 4 设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2, 则 2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1, Sn2SnSn (31)213(20212n2)(3n1)2n1 13(3n1)2n1 2n11 21 13(3n4)2n1 2(3n4)2n1. 数列an的通项公式为an(3n1)2n2,前n项和公式为 Sn2(3n4)2n1,nN N*.