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1、8080 分分 解答题标准练解答题标准练( (二二) ) 1(2018威海模拟)在ABC中，边BC上一点D满足ABAD，ADDC. 3 (1)若BD2DC2，求边AC的长； (2)若ABAC，求 sin B. 解 (1)ABAD， 在 RtABD中，sinABD， AD BD 3 2 ABD60，AB1. 在ABC中，AB1，BC3，由余弦定理可得， AC2AB2BC22ABBCcosABC 19213 7， 1 2 AC. 7 (2)在ACD中，由正弦定理可得， AD sin C DC sinDAC ADDC， 3 ， 3 sin C 1 sinDAC ABAC，BC， BAC1802B，
2、BAD90， DACBACBAD 1802B90902B， ， 3 sin B 1 sin902B ， 3 sin B 1 cos 2B 化简得 2sin2Bsin B0， 33 即(sin B1)(2sin B)0， 33 sin B0，sin B. 3 3 2(2018安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，已知 B1C1A190，异面直线AB1A1C，且AA1AC. (1)求证：平面ACC1A1平面A1B1C1； (2)若AC1AA1B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值 (1)证明 因为AA1AC， 所以四边形ACC1A1是菱形， 所以A1CA
3、C1， 又因为异面直线AB1A1C，AC1AB1A， AB1，AC1平面AB1C1， 所以A1C平面AB1C1， 又B1C1平面AB1C1， 所以A1CB1C1. 又因为B1C1A190， 即B1C1A1C1， 且A1C1A1CA1，A1C，A1C1平面ACC1A1， 所以B1C1平面ACC1A1， 又B1C1平面A1B1C1， 所以平面ACC1A1平面A1B1C1. (2)解 设O是A1C1的中点， 因为AC1AA1， 所以AOA1C1， 由(1)可知，AO平面A1B1C1， 以O为坐标原点，过点O且与C1B1平行的直线为x轴， 以OC1所在直线为y轴， 以OA所在直线为z轴， 建立空间直角
4、坐标系Oxyz， 设AA12， 则A(0,0，)，A1(0，1,0)， 3 C1(0,1,0)，B1(2,1,0)， 设A1C1与平面ABB1A1所成的角为， 因为 (0,2,0)，(2,2,0)，(0,1，)， A1C1 A1B1 A1A 3 设平面ABB1A1的一个法向量是n n(x，y，z)， 则Error!即Error! 不妨令x1， 则y1，z，可得n n， 3 3 (1，1， 3 3) 所以 sin |cos，n n|， A1C1 2 2 7 3 21 7 所以直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值为. 21 7 3(2018山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛
5、中，参与竞赛的文科生 与理科生人数之比为 13，且成绩分布在40,100内，分数在 80 以上(含 80)的同学获 奖按文、理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图 (见下图) (1)填写下面的 22 列联表，判断能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” ？ 文科生理科生总计 获奖 5 不获奖 总计 200 (2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取 3 名学生，记 “获奖”学生人数为X，求X的分布列及期望 附表及公式：K2，nabcd. nadbc 2 abcdacbd 其中nabcd. P(K2k0)0.150
6、.100.050.0250.0100.005 k02.0722.7063.8415.0246.6357.879 解 (1) 文科生理科生总计 获奖 53540 不获奖 45115160 总计 50150200 K24.1673.841， 200 5 11535 452 50 150 40 160 25 6 所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” (2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的 概率为 . 1 5 X的所有可能的取值为 0,1,2,3，且XB. (3， 1 5) P(Xk)C k3k(k0,1,2,3) k3 ( 1 5) (
7、1 1 5) P(X0)C 030 ， 0 3 ( 1 5) ( 4 5) 64 125 P(X1)C 131 ， 1 3 ( 1 5) ( 4 5) 48 125 P(X2)C 21 ， 2 3 ( 1 5) ( 4 5) 12 125 P(X3)C 30 ， 3 3 ( 1 5) ( 4 5) 1 125 所以X的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 E(X)3 . 1 5 3 5 4(2018安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(c,0)， x2 a2 y2 b2 右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，EFA的面积为，过点E
8、的动直线l被椭圆C所截得 b2 2 的线段MN长度的最小值为. 4 6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线OBl，D是线段OB延长线上一点，且 |DB|MN|，D的半径为|DB|，OP，OQ是D的两条切线，切点分别为P，Q，求POQ 7 5 的最大值，并求出取得最大值时直线l的斜率 解 (1)由已知，可得 (ca)c. 1 2 b2 2 又由b2a2c2，可得 2c2aca20，解得a2c， 设椭圆C的方程为1， x2 4c2 y2 3c2 当直线l的斜率不存在时，线段MN的长为 2c； 3 当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxc， 由Error!得(4k
9、23)x28kcx8c20， (8kc)232c2(4k23)0， 从而|MN| k21 4k23 4 6ck21 2k21 4k23 2c 3 4 k244k22 4 k232 2c3， ， 1 u (0， 1 3) 因此 |OB| r 5 7 u2 3 u7u1 1， 5 7 1 34 u 7 u2 5 (7 u2)225 当且仅当 2，即u 时等号成立， 7 u 7 2 此时k，所以 sin ， 2 4 POQ 2 1 2 因此，所以POQ的最大值为. POQ 2 6 3 综上所述，POQ的最大值为， 3 取得最大值时直线l的斜率k. 2 4 5(2018四川省成都市第七中学模拟)已知函
10、数f(x)(x0，aR R) 3xexa x (1)当a 时，判断函数f(x)的单调性； 3 4 (2)当f(x)有两个极值点时，若f(x)的极大值小于整数m，求m的最小值 解 (1)由题意知， f(x) ex3x e xx3x e xa x2 (x0) x23x3exa x2 令h(x)(x23x3)exa(x0)， 则h(x)(x2x)ex， 当 00，h(x)为增函数； 当x1 时，h(x) ， 3 4 所以h(x)maxh(1)ea0)， 则h(x)(x2x)ex， 当 00，h(x)为增函数； 当x1 时，h(x)0， h e 3 2 a2. (1， 3 2) 又由得a 2 ex(x
11、3x23)， 2 2 把它代入得f(x2)(2x2) 2 ex， 所以当x2时，f(x2)(1x2) 2 exf 3 2 e2. ( 3 2) 1 2 所以满足题意的整数m的最小值为 3. 6在数列an中，Sn14an2，a11. (1) 设cn，求证：数列cn是等差数列； an 2n (2) 求数列an的通项公式及前n项和的公式 (1)证明 Sn14an2， 当n2，nN N*时，Sn4an12. 得an14an4an1. 方法一 对an14an4an1两边同除以 2n1，得 2， an1 2n1 an 2n an1 2n1 即2， an1 2n1 an1 2n1 an 2n 即cn1cn1
12、2cn， 数列cn是等差数列 由Sn14an2，得a1a24a12， 则a23a125， c1 ，c2 ， a1 2 1 2 a2 22 5 4 故公差d ， 5 4 1 2 3 4 cn是以 为首项， 为公差的等差数列 1 2 3 4 方法二 an12an2an4an1 2(an2an1)， 令bnan12an， 则bn是以a22a14a12a12a13 为首项，2 为公比的等比数列， bn32n1， cn， an 2n cn1cn an1 2n1 an 2n an12an 2n1 ， bn 2n1 3 2n1 2n1 3 4 c1 ， a1 2 1 2 cn是以 为首项， 为公差的等差数列 1 2 3 4 (2)解 由(1)可知数列是首项为 ，公差为 的等差数列， an 2n 1 2 3 4 (n1) n ，an(3n1)2n2是数列an的通项公式 an 2n 1 2 3 4 3 4 1 4 设Sn(31)21(321)20(3n1)2n2， 则 2Sn(31)20(321)21(3n1)2n1， Sn2SnSn (31)213(20212n2)(3n1)2n1 13(3n1)2n1 2n11 21 13(3n4)2n1 2(3n4)2n1. 数列an的通项公式为an(3n1)2n2，前n项和公式为 Sn2(3n4)2n1，nN N*.
