水波读书笔记崔继峰1

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1、水波理论读书笔记水波理论读书笔记 Reading Notes about Water Wave Theory 任课教师：张洪生教授 学生：崔继峰 学号：0110109031 2011-12-22 水波理论读书笔记水波理论读书笔记 一导引 有文章应该写导引，导引者应该说明为什么要写文章，写文章有什么意义。 硕士期间，曾零星式自学过由复旦大学陶明德教授编写的水波引论 ，觉 得不简单（细节处理较灵活） 。博士这学期，选了由张洪生教授主讲的水波动力 学的理论和应用，所用教材为梅强中先生编写的水波动力学 ，虽张教授推导 公式清楚，但因学时所限，且听众具有不同学科背景，听起来总觉得晦涩难懂 （只停留在浅显

2、概念和公式推导层面上） ，学好水波理论的难点在于需根据所考 虑的物理背景，灵活近似建立数学模型，然后以高等数学（多元微分链式法则） 、 微分方程（二阶 ODE 求解为主） 、复变函数（解析函数与调和函数、留数定理、 共形映射） 、泛函分析（变分原理，极值定理） 、傅里叶级数与积分变换、场论 （高斯公式，格林公式，斯托克斯公式）知识为主的数学多分支交叉应用求解。 这对数学素养的要求是很高的。 由于学科背景所限，只能粗浅摘抄总结。这篇读书笔记，以如下为纲领： 表象认识水波； 水波方程及其特性； 求解 Stokes 与造波方程； 列出重要的数学工具。 在写读书笔记时，主要参考了梅强中和陶明德先生的教

3、材，图片均来自维基 百科网，表示感谢。 二水波表象 Fig.1 Surface waves in water Fig.2 Sine, square, triangle and sawtooth waveforms. Fig.3 Illustration of the envelope (the slowly varying red curve) of an amplitude- modulated wave. The fast varying blue curve is the carrier wave, which is beg modulated. Fig.4 Gravity waves

4、on the surface of deep water. Fig.5 A wave with the Group velocity and Phase velocity going in different directions. 在空间的某点上某一物理量在平衡状态受到扰动后，该扰动以确定的速度 向四周传播的这种现象称为波波。因为用肉眼就能考察水的波动，所以水波是人 们最为熟悉的一种波，从而很早就作为研究的对象。 波动的问题面很广，涉及力学、物理、生物、地质、天文、气象和海洋等 很多领域。在不同的学科领域，波动表征形式可以多种多样，但波作为物质运 动的一种形式，它所遵循的物理定律应是相同的，

5、它的数学表达形式，即所满 足的微分方程也是统一的。 三、水波的基本方程 在考虑水波问题时，假设流体是无粘、不可压缩的，因为是在有势力场， 所以流动是无旋的。这时，基本方程为： 2 0,( , )( , , )h x yzx y t 底面上的边界条件： 0,( , ) hh zh x y xxyyz 界面条件： 0,( , , )zx y t txxyyz 2 1 ()( ),( , , ) 2 P gc tzx y t t 这里，问题满足的方程是线性的，而界面形状满足的方程是非线性的，因此， 整个水波问题是非线性的。 四、基本关系 色散关系： 考虑一满足线性化自由表面条件的简谐重力行进波在深为

6、的水域中传播h 的情形。 2 tanhgkkh 由上述可见，对已给定的频率，行波一定有由上式确定的恰当的波数。 因为，实际上是深度与波长比，所以长波和浅水波指的是的2khh1kh 情形，短波和深水波指的是的情形，对固定的，较短的波有较高的频1kh h 率。在潜水波中，由于，频率固定时。深度较小的情形有较短的波kgh; 长。 因相速度无量纲形式为；C 1/2 tanh () ckh khgh 对长波和短波的极限形式有： （长波，浅水）,1cghkh （短波，深水）,1cg kkh 群速度： 波的群速度，或简称群速，是指波幅度外形上的变化(称为波的“调制”或 “波包”)，其在空间中所传递的速度。想

7、象一下我们将一块石头投入一个平静 的池塘中激起一个波浪，随即变成一个中心平静呈环形扩展的波环。这个正在 扩展的波环为一组由不同传播速度的独立子波组成。波长较长的子波传播速度 较快并消失在整组波的前缘。波长较短传播较慢的波随着整组波内缘的推进而 消失。 群速度通过下列方程定义： g d c dk 400600800100012001400 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10-4 群速度常被认为是能量或信息顺着波动传播的速度。多数情况下这是正确 的，也因此群速度可被视为波形所带有的信号速度。然而，如果波行经过吸收 性介质(absorptive medium)，这种情况就不一

8、定成立。举例而言，可以设计实验 将雷射光脉冲送过特殊准备的物质，使得其群速度大大地超过真空中光速。然 而信号速度总是低于或等于光速，因此超光速通信是不可能。此外也可以将群 速度减少到零，将脉冲停住，或者是得到负值的群速度，因为脉冲是以相反方 向行进。 函数将设为的函数，被称为色散关系。如果正比于，则群速( )kkk 度恰等于相速度；否则，波包在行进中将会逐渐扭曲。这样的“群速度色散”在 光纤中信号的传递，以及短脉冲雷射的设计两个课题上是个重要的效应。 群速度迥异于相速度的概念是首先由哈密顿于 1839 年提出，这方面完整的 处理则出现在瑞利勋爵(Lord Rayleigh)的 1877 年的著

9、作声理论(Theory of Sound)中。 能量通量： 2 4 kp ga EE 即每波长的的波所具有的能量中的一半是动能，一半是势能，这称为能量均分。 2 2 kp ga EEE 因此，单位长度的波具有的能量为 2 0 1 2 EEga 能量传递速度 0 2 (1) 2sin2 av E Fckh U Eh kh 其中，为平均能量通量。 2 2 (1) 4sin2 av ga ckh F h kh 六、Stokes 波的求解 G. Stokes（1880）研究了具有有限波陡的波，称为 Stokes 波，它是非线性 重力波的一种近似，成为许多非线性波研究的一个出发点，Stokes 波在工程

10、中 亦常用。线性理论只对“无限小波陡”情形有效，当波幅增大时，波形就会有较 大的改变，而且波速也随之增大，用线性理论无法解释此现象。 若在传播过程中波的速度恒定，且波形保持不变，则此种波称为永形波。 例如线性理论中的正弦行进波也是永形波。我们这里讨论非线性波中的一种永 形波。 讨论二维情形，假定存在永形波，则可在以 为速度右移的平移坐标系中c 来讨论（其中 为该永形波的速度） 。此时，该永形波解与 无关。下面假定ct 较小。ka 因对无限水深情形有 0 lim0 0 y y P 由于满足前两式（事实上它可用分离变量法由前两式求得） ，故可sin ky ekx 构造组合 (sin) ky c x

11、ekx 易见也满足前两式，所叠加上去的是在原来的波上叠加一个速度为 的定cxc 常流。设其中的和都是小量。k 由于势函数满足柯西黎曼条件，故对应的流函数为 (cos) ky c yekx 因=constant 表示一根流线，不妨取假定为自由表面流线，则在自0 由表面上有 cos ky yekx 注意此处是的函数，故不能说上式是简谐波；另外，还要证明它是否“有yx 资格”成为自由表面。 由上式可推导得出 222334 113 coscos2cos3() 228 ykaakxkakxk akxO k a 要它成为自由表面，必须使之满足自由表面条件，由欧拉积分以及，在V 自由表面上需要 222 2

12、222 22 2 22 22 2 1 0/con(1 2cos) 2 11 (const)(cos) 22 1 const 2 kyky kyky ky Pstgyck ekxke ckcekxk cegy kc ygyk ce 因较小，可将用泰勒公式展开，上式成为ky 2ky e 22 222 22 223 22 232 11 0con()(12(2) 22 1 const() 2 const() stkcg yk ckyky kc yg yk ck cy ckkg y 故得 232 ()0ckkg 即 2 32 22 22 22 1 1 (1) (1) g c kk g kk g k k

13、g k a k 上式最后一步用到：。 23 9 8 ak a 可见，只要 满足上式，则波面就可满足自由表面条件，就是问题的解。 c y 这就说明了水波问题可能存在形式如表达式的永形波。y 归纳上面的结果，得到三阶 Stokes 波 2223 113 coscos2cos3 228 kaakxkakxk akx 222 (1) g ck a k 222 2 1 const(1 2cos) 2 kyky Ppgyckaekxk a e 其中。xxct 此处的 Stokes 波是深水流场弱非线性重力波的近似，它要求较小（因推ka 导过程中已假定和皆为小量，因而也是小量） 。易见 Stokes 波中，

14、常数项ka 后面较高阶的项与前一项的比为。有限水深情形的 Stokes 波的推导过程()O ka 较繁，其结果见后面。 再来讨论压力，可写成P 2 222 2 cos 1 (1) 2 ky ky Pconstpgyc kaekx ck a c 即 Stokes 波存在的水域中的压力可分为常压+水静压力+周期性水动压力+非周 期性水动压力，其最后一项是负压。 图图 6-16-1 三阶三阶 StokesStokes 波波 图图 6-26-2 正弦波（下）与三阶正弦波（下）与三阶 STOKESSTOKES 波（上）波（上） 七造波机问题 一问题的公式化 图图 7-17-1 试验水池与造波机示意图试验

15、水池与造波机示意图 设水池如上图安排，其左端处装有某种方式运动的造波推板，常见的0x 是摇板或推板等。 已知造波板的运动方程为 （7.1）( , , )xf y z t 问题中的速度势满足拉普拉斯方程 （7.2）0 定解条件为 （在各物质表面上成立） （7.3） nn V （7.4）0 ( , , )Pyx z t 在水池底面，故0 n V （7.5）0() n yh 动力学边界条件（7.4）即为 （7.6） 21 0, , 2 t gyx z t 在自由表面 （7.7）( , , )0 s Fyx y t 它是物质表面，故 （7.8）0 s DF Dt 因此 （7.9）()()0 s ts FF 即 （7.10）( , , ) ytxxzz yx z t 在造波板上，由（7.1） （7.11）( , , )0 p Fxf x y t 它也是物质表面，故，由此/0 P DFDt