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1、 1 习题答案 1 p.41 习题 2.3 1. 求下列曲线的曲率： (2) () 323 ( )3,3 ,3r tttttt=+；(4) () 33 ( )cos ,sin,cos2r tttt=. 解. (2) () 22 ( )3 1,2 ,1r tttt=+， () 2 |( )|3 2 1r tt=+, ()( )6, 1,r ttt =, () 22 ( )( )181, 2 ,1r tr ttt t=+, () 2 |( )( )|18 21r tr tt=+, 22 1 3(1)t = + . (4) () 1 ( )sin23cos ,3sin , 4 2 r tttt=，
2、5 |( )|sin2 | 2 r tt=, ()() 1 ( )cos23cos ,3sin , 4sin2 3sin ,3cos ,0 2 r ttttttt=+, () () 21 ( )( )sin 23cos ,3sin , 43sin ,3cos ,0 4 r tr tttttt= () 23sin 2 4cos , 4sin , 3 4 ttt=， 25 |( )( )|sin 2 4 r tr tt=， 2 25|sin2 | t =，(2(21)tk+). 4. 求曲线 222 22 9, 3 xyz xz += = 在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧
3、长参数方程为()( )( ), ( ), ( )r sx sy s z s=, ()(0)2,2,1r=， 0 (0)r=， 00 (0)r =. 则( ), ( ), ( )x sy s z s满足题给的方程组，所以有 2222 212,26xyyz+=+=. 对上式求导得 222 20,20,1xxyyyyzzxyz+=+=+=. (1) 再求导，得 2222 2(2),2(2),0xxyyxyyyzzyzxxyyzz+= += +=. (2) 在()2,2,1处，由(1)解出2xyz= =， 1 3 x = . 不妨设 122 333 ,xyz= =. 所以 ()() 0 1 , ,1,
4、 2,2 3 x y z=. 代入(2)得 22 42,220 33 xyyzxyz+= += +=. 所以 00 1 (0)(0, 1, 1) 3 r = ， 0 2 3 =， 0 1 (0, 1, 1) 2 = . 于是 2 () 000 11 (0, 1, 1)(4,1, 1)1, 2,2 3 23 2 = =. 所以在()2,2,1处，曲率为 0 2 /3=，密切平面方程为 4(2)(2)(1)0xyz+=，即490xyz+=. 7. 证明： 若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点， 则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为( )rr s=，它的 Frenet 标架为
5、; , ,r ， 曲率和挠率分别为, . 再设定点为a(常向量). 由条件，a和( )r s都在C的过 ( )r s点的切线上，所以( ( )/( )r sas. 故可设 ( )( ) ( )r sass=+. 对上式求导，利用 Frenet 公式可得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )ssssss=+. 所以( )0s=，C是直线. p. 47 习题 2.4 1. 计算习题 2.3 第 1 题中各曲线的挠率. (2) () 323 ( )3,3 ,3r tttttt=+；(4) () 33 ( )cos ,sin,cos2r tttt=. 解. (2) () 22 ( )3 1,2
6、,1r tttt=+， () 2 |( )|3 2 1r tt=+, ()( )6, 1,r ttt =, () 22 ( )( )181, 2 ,1r tr ttt t=+， () 2 |( )( )|18 21r tr tt=+，()( )61,0,1rt=，()216( ),( ),( )r t r t rt=， () () 22 2 ( ),( ),( ) 1 |( )( )| 31 r t r t rt r tr t t = + . 22 1 3(1)t = + (4) () 1 ( )sin23cos ,3sin , 4 2 r tttt=， 5 |( )|sin2 | 2 r t
7、t=, ()() 1 ( )cos23cos ,3sin , 4sin2 3sin ,3cos ,0 2 r ttttttt=+, () () 21 ( )( )sin 23cos ,3sin , 43sin ,3cos ,0 4 r tr tttttt= () 23sin 2 4cos , 4sin , 3 4 ttt=， ()()( )2sin23cos ,3sin , 42cos23sin ,3cos ,0rttttttt = + () 1 sin2 3cos , 3sin ,0 2 ttt+， 25 |( )( )|sin 2 4 r tr tt=，() 33 3 sin 2( ),(
8、 ),( ) 4 tr t r t rt=， () 2 ( ),( ),( ) 12 3 |( )( )|25sin2 r t r t rt r tr tt = , (2(21)tk+). 2 25|sin2 | t = 4. 假定( )rr s=是正则弧长参数曲线，它的挠率0，曲率不是常数，并且 3 22 2 111d a ds += ， (1) 其中a为常数. 证明该曲线落在一个球面上. 证明. 由条件(1)，求导得 111111 0 dddd dsdsdsds += . 因为不是常数，上式说明 11 0 dd dsds += . (2) 设它的 Frenet 标架为; , ,r . 考虑
9、向量函数 111 ( )( )( )( ) ( )( )( ) d r sr sss sss ds =+ . (3) 对上式求导，利用 Frenet 公式和(2)式，得 111111 ()0 dddd r dsdsdsds = += . 所以rc=是常向量. 代入(3)得到 111 ( )( )( ) ( )( )( ) d cr sss sss ds =+ ， () 22 2 2 111 ( ) d ar sc ds =+= . 这说明( )r s在以c为中心，以a为半径的球面上. 10. 设( )r t是单位球面上经度为t， 纬度为 2 t 的点的轨迹. 求它的参数方程， 并 计算它的曲率
10、和挠率. 解. 单位球面的参数方程为 cos cos ,cos sin ,sinxyz=，( , )/2,/2 , . 其中为经度，为纬度. 将, 2 tt =代入，得曲线的参数方程 () 2 ( ) sin cos ,sin,cos r t tttt =. 于是 ()( )cos2 ,sin2 ,sinr tttt =， 2 |( )|1sinr tt=+. ()( )2sin2 ,2cos2 , cosr tttt= ， ()( )( )2sin cos2cos sin2 ,2sin sin2cos cos2 ,2r tr ttttttttt=+ ()()2sincos2(0,0,1)co
11、s2 ,sin2 ,0sin2 ,cos2 ,0tttttt=+， 22 |( )( )|cos4(1sin)r tr ttt=+. ()()( )4sin (0,0,1)4cos2 , 4sin2 ,sincos2 ,sin2 ,0rttttttt= +, ()6sin( ),( ),( )tr t r t rt= . 所以 4 () 22 3/23 2 cos4(1sin)| ( )( )| | ( )| 1sin ttr tr t r t t + = + ， () 222 ( ),( ),( )6sin | ( )( )|cos4(1sin) r t r t rtt r tr ttt =
12、 + . p. 55 习题 2.5 1，6. 设正则曲线C的曲率处处不为零. 则下述命题是等价的： (a)C是一般螺线(即C的切向量与固定方向成定角)； (b)C的主法线与固定平面平行； (c)C的挠率与曲率之比: 是常数. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为( )rr s=，它的 Frenet 标架为; , ,r ， 曲率和挠率分别为0,. (a)(b). 设固定方向的单位向量为n. 则cos( , )nn=是常数. 因为 0，求导得到0n=，即主法线方向与固定方向n垂直. 所以主法线与以n为 法向量的一个固定平面垂直. (b)(c). 设固定平面的单位法向量为n. 则0n=. 于是 () 0
13、 dn n ds =. 这说明cosn=是常数，其中( , )n= . 因为0n=，可设 ( ) ( )( ) ( )nssss=+. 用( ) s与等式两边作内积，得( )( )cosss n=是常数. 再由n是单位向量可 知 222 ( )1( )sinss= =也是常数. 不妨设sin=，则上式成为 cos( )sin( )nss=+ 求导得到 0cos( )sin( ) ( )sss=. 所以( ): ( )cotss=是常数. (c)(a). 设( ): ( )cotss=是常数. 令 ( )cos( )sin( )n sss=+. 则 ( )cos( )sin( ) ( )0n s
14、sss=. 所以n是常向量，从而切方向与固定方向n成定角( , )n= . 4. 证明：曲线( )(3sin ,2cos , 3sin )r tttttt=+和曲线 122 ( )(2cos ,2sin ,) uu r uu= 可以通过刚体运动彼此重合. 证明. 对曲线 1: C 11( ) rr u=作参数变换2uv=，可知 1 C是圆柱螺线： 1 (2cos ,2sin , 2 )rvvv=. (2,2ab= ) 它的曲率和挠率分别为 1 14 =， 1 14 = . 因此只要证明曲线:C( )rr t=的曲率 1 4 =， 挠率 1 4 = ， 从而根据曲线论基本定理， 它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得 5 ( )(13cos ,2sin ,3cos )r tttt=+，|( )|2 2r t=， ( )(3sin ,2cos ,sin )r tttt= ， ( )( )(2 3c
