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1、第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性1括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单例 1 计算：(1) (2)分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法
2、则，尤其是要注意去括号时符号的变化解 (1) (2) 注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算例 2 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789=1000(211+789)=1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常
3、用技巧例 3 计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需对 n 的奇偶性进行讨论：当 n 为偶数时，上式是 n2 个(-1)的和，所以有S=-n/2当 n 为奇数时，上式是(n-1)2 个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1n=n，所以有S=-(n-1)/2+n=(n+1)/2例 4 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运
4、算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在 1，2，3，1998 中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于 1现考虑在自然数 n，n+1，n+2，n+3 之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0这启发我们将 1，2，3，1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-199
5、7+1998=1所以，所求最小非负数是 1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：(100+2)(100-2)=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算例 5 计算 30012999 的值解 3
6、0012999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例 6 计算 1039710 009 的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919例 7 计算： 分析与解直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么 12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为 n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是 1，所以原式=24 690例
7、8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(232-1)(232+1) =264-1例 9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2这个公
8、式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本题就是一个例子解 原式= 通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化例 10 计算：分析 四个括号中均包含一个共同部分：我们用一个字母表示它以简化计算解 设A=，则 3观察算式找规律例 11 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在 90 上
9、下，所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正”，小于 90 的数取“负”，考察这 20 个数与 90 的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)20=89.95例 12 计算 1+3+5+7+1997+1999 的值(等差数列的求和)分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于 2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于 2000，于是可有如下解法解 用字母 S 表示
10、所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将 S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+2000+2000(500 个 2000)=2000500从而有 S=500 000说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等( 本题3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决例 13 计算 1+5+52+53+599+5100的值(等比数列的求和)分析观察发现，上式从
11、第二项起，每一项都是它前面一项的 5 倍如果将和式各项都乘以 5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决例 14 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法解 由于所以 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些
12、可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用练习一1计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)19911999-19902000；(4)4726342+472 6352-472 633472 635-472 634472 636；(5)(6)1+4+7+244；(7)(8)2某小组 20 名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个
13、基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数例 1 a，b 为实数，下列各式对吗？若不对
14、，应附加什么条件？(1)|a+b|=|a|+|b|；(2)|ab|=|a|b|； (3)|a-b|=|b-a|；(4)若|a|=b，则 a=b； (5)若|a|b|，则 ab； (6)若 ab，则|a|b|解 (1)不对当 a，b 同号或其中一个为 0 时成立(2)对(3)对(4)不对当 a0 时成立c b 0 a x 图11(5)不对当 b0 时成立(6)不对当 ab0 时成立例 2 设有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图 1-1 所示，化简|b-a|+|a+c|+|c-b|解由图1-1可知，a0，b0，c0，且有|c|a|b|0根据有理数加减运算的符号法则，有b-a0，ac0，c-b0再根据绝对值的概念，得|b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例 3 已知x-3，化简：|3+|2-|1+x|分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解 原式=|3+|2+(1+x)|(因为 1+x0) =|3+|3+x|=|3-(3+x)|(因为 3+x0) =|-x|=-x例 4 若的所有可能值是什么？解 因为 abc0，所以 a0，b0，c0(1)当 a
