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1、第六章 离散系统z域分析,6.1 z 变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 6.2 z 变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z 域分析 一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、s域与z域的关系 四、系统的频率响应 五、借助DTFT求离散系统的频率响应,点击目录 ，进入相关章节,第六章 离散系统z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,6.1 z变换,一、从拉普拉斯到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。,取样信号,两边取双边拉普拉斯变
2、换，得,第六章 离散系统z域分析,令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z),6.1 z变换,6.1 z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成
3、的集合称为z变换F(z)的收敛域。,（1）整个z平面收敛；,6.1 z变换,6.1 z变换,例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1,解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f(k)的双边z 变换为,F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收敛域为0z ,f(k)的单边z 变换为,收敛域为z 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z，有时它在0或/和也收敛。,（2）部分z平面收敛；,6.1 z变换,例2 求因果序列,的z变换（式中a为常数）。,解
4、：代入定义,可见，仅当az-1a =时，其z变换存在。,收敛域为|z|a|,6.1 z变换,例3 求反因果序列,的z变换。,解:,可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z| |b|,6.1 z变换,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z变换。,可见，其收敛域为azb,ab,6.1 z变换,（3）整个z平面均不收敛；,6.1 z变换,例5 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z变换。,ab,z b,z a,6.1 z变换,（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，
5、其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换(若存在) 收敛域为环状区域。,序列的收敛域大致有一下几种情况：,6.1 z变换,6.1 z变换,注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。,例, z2, z2,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。,结论：,6.1 z变换,常用序列的z变换：,(k),，z1,，z1,( k 1),(k) 1 ，整个则z平面,其中：a0,6.2 z变换的性质,6.2 z变换的性质,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,例1：,一、线性,设,则:,注：其收敛域至少是F1(
6、z) 与F2(z)收敛域的相交部分。,6.2 z变换的性质,解：,例2： ，求 的双边z变换 。,6.2 z变换的性质,二、移位（移序）特性,单边、双边差别大！,双边z变换的移位：,若 f(k) F(z) , 0，则,证明：,单边z变换的移位：,若 f(k) F(z), |z| ，且有整数m0, 则,6.2 z变换的性质,证明（右移）：,上式第二项令k m=n，则：,特例：若f(k)为因果序列，则,即：,6.2 z变换的性质,例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解:,z1,例2：求f(k)= k(k)的单边z变换F(z).,解:,6.2 z变换的性质,三、序列乘 （a可为实数、虚
7、数、复数） (z域尺度变换),则,证明：,若a=-1，有,6.2 z变换的性质,例1：,解:,例2：,解:,6.2 z变换的性质,四、卷积性质：,证明：,对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列,注：其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,6.2 z变换的性质,例： ，求 的双边 变换 。,解：,6.2 z变换的性质,五、序列乘k（z域微分）,设,则,证明：,6.2 z变换的性质,令,则,即：,解：,例：求 的双边 变换 。,6.2 z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分）,则,若m=0 ,且k0，则,例：求序列 的z变换。,解：,6.2 z变换的性质,设,则
8、,证明：,七、k域反转(仅适用双边z变换）,6.2 z变换的性质,利用齐次性，k域和z域同时乘以a得,解：,例1： 求,解：,6.2 z变换的性质,八、部分和,若 f(k) F(z) , z，则, max(,1)z,证明：,例：求序列(a为实数) (k0)的z变换。,解：,，|z|max(|a|,1),6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M), f(M+1), 而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)F(z) ，z 则序列的初值
9、,对因果序列f(k)，,6.2 z变换的性质,证明：,两边乘zM，得,上式取z，得,6.2 z变换的性质,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ，z 且01 则序列的终值,含单位圆,证明见教材。,设,上式两边乘以 ， 为整数，在 的收敛域内作围线积分：,柯西公式：,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,一、逆z变换,令 ，得：,上式称为 F(z) 的逆z变换.,Z逆变换的计算方法：,（1）反演积分法（留数法）； （2）幂级数展开法； （3）部分分式展开法； （4）用 z 变换
10、性质求逆 z 变换。,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即,其中,相应地，其z变换也分为两部分,6.3 逆z变换,已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，根据线性性质，将两者相加得到F(z) 所对应的原序列f(k)。,二、幂级数展开法,根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。,6.3 逆z变换,解:,（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。
11、用长除法将F(z)展开为z -1的幂级数：,于是，得原序列：,6.3 逆z变换,（2）由于F(z)的收敛域在半径为1的圆内，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（其分子、分母按z 的升幂排列）展开为z 的幂级数如下：,于是，得原序列：,6.3 逆z变换,(3) F(z)的收敛域为1z2的环形区域，其原序列f(k) 为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有,根据给定的收敛域不难看出，上式第一项属于因果序列的象函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，即,6.3 逆z变换,将它们分别展开为z -1及z的幂级数，有,用上述方法求逆z变换，原序列通常难以写成闭合形式。,于是，得原序
12、列：,6.3 逆z变换,三、部分分式展开法,式中mn,（1）F(z)均为单极点，且不为0,式中各系数,所以：,6.3 逆z变换,根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z)两部分，根据已知的变换对，如,等，就可求得原函数。,6.3 逆z变换,解: 部分分式展开为,(1)当z2，f(k)为因果序列,(2) 当z1，f(k)为反因果序列,(3)当1z2， f(k)为双边序列,6.3 逆z变换,解：,由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足z1，后两项满足z2。,6.3 逆z变换,(2) F(z)有共轭单极点,6.3 逆z变换,解：,6.3 逆z变换,（1） 为因果序列,6.3 逆z
13、变换,(3) F(z)有重极点,F(z)展开式中含 项(r1)，则逆变换为：,若za ,对应原序列为因果序列：,6.3 逆z变换,以za 为例：,当r=3时，为,当r=2时，为,可这样推导记忆：,两边对a求导得:,再对a求导得:,故:,6.3 逆z变换,解:,例1： 求逆变换 。,解：,6.3 逆z变换,四、用性质求逆z变换,方法1：,方法2：,6.3 逆z变换,例2、因果周期信号 如图，求 的单边 变换 。,设第一周期内信号为 ，则 可表示为,设,6.3 逆z变换,解：,五、反演积分法（留数法）*,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,例：,解：,6.3 逆z变换,6.3 逆
14、z变换,6.4 离散系统的z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的z域解,设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。,取单边z变换得：,6.4 离散系统的z域分析,令,称为系统函数。,h(k)H(z),例1：若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统 的yx(k)、yf(k)、y(k)。,6.4 离散系统的z域分析,6.4 离散系统的z域分析,解：,方程取z变换，得：,整理得
15、：,6.4 离散系统的z域分析,例2：,解：,系统的差分方程为：,1、求完全响应 ：,由单边z变换的右移性质：,6.4 离散系统的z域分析,解：,根据右移性质，对系统差分方程取单边z变换，得,由上式得：,6.4 离散系统的z域分析,2、求零输入响应,的方程：,根据右移性质，对 的方程取单边 变换，得：,由上式得：,6.4 离散系统的z域分析,3、求零状态响应,的方程：,由右移性质，对 的方程取单边 变换，得,6.4 离散系统的z域分析,说明：前向差分方程的解法：,（1）用左移性质：,初始条件：对 、 、,对 、 、,（2）转变为由后向差分方程，用右移性质求解，,初始条件：对 、 、,对 、 、,若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。,6.4 离散系统的z域分析,二、系统函数H(z):,1、定义：,2、物理意义：,3、计算：,（1）,（2）,（3）由系统差分方程求,6.4 离散系统的z域
