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1、2019/6/14,1,第二章 预备知识,2.1 信号基础 2.2 确定信号的分析 2.3 随机信号 2.4 信号通过线性系统,2019/6/14,2,2.1 信号基础,2.1.1 信号表示 2.1.2 信号分类,信号是信息的载体。人们必须对所获得的信号进行分析和处理，才能得到其中的信息。,2019/6/14,3,2.2 确定信号的分析,一般说来，信号分析就是将（复杂）信号分解为若干简单分量的叠加，并以这些分量的组成情况对信号特性进行考察。对信号进行分析的方法通常有两类：时域分析和频域（谱）分析。 其中时域分析以波形为基础，这里不详细展开。频域分析则将时域信号变换到频域中进行分析，最基本的方法
2、是将信号分解为不同频率的余（正）弦分量的叠加，即利用傅里叶变换（级数）进行分析。,2019/6/14,4,2.2.1 傅里叶级数与傅里叶变换 2.2.2 功率（能量）谱 2.2.3 时域抽样信号和抽样定理 2.2.4 相关函数,2019/6/14,5,2.1.1 信号表示,时域表示 频域表示,2019/6/14,6,时域表示,信号是随时间变化的物理量（电、光、声等），可以用函数解析式描述，也可表示为图形（波形图）。 如余弦信号是一种非常简单的信号，其函数解析式可以描述为：,（2.1）,2019/6/14,7,从中可以看到体现了信号的特征三个参数幅度,、角频率,和相位,。,其波形图则如2.1所示
3、。,2019/6/14,8,图2.1 余弦信号波形,2019/6/14,9,客观存在的信号都是实数函数，但为了方便数学上的分析和处理，人们也常常用复数形式来表示这些信号。 如式（2.1）的余弦信号也可表示成式（2.2）的复数形式：,2019/6/14,10,（2.2）,上述复数表示也同样具有,、,、,它们体现出信号变化的规律。,三个参数，,2019/6/14,11,复数（信号）,的实部就是实信号,，即：,（2.3）,2019/6/14,12,频域表示,对余弦波而言，三个参数如能确定的话，函数或者波形就能唯一确定了。因此不妨考虑用如图2.2所示的方式来表示上述余弦波。,2019/6/14,13,
4、图2.2 余弦信号的频谱,2019/6/14,14,图2.2在新的坐标系（角频率或频率为横轴，振幅和相位为纵轴）中，以两条线（甚至两个点就够了），表示了时域波形如图2.1所示的信号，或者说，表示了信号所有的特征信息（频率、幅度和相位）。这种表示法被称为频域表示，表示的结果叫做“频谱”，对应于振幅或者相位分别为幅度谱和相位谱。,2019/6/14,15,上述正弦信号只有单一频率，因此其频谱只包含一根“线”（谱线），人们常称其为“单色”信号。而在大多数应用场合中，信号是由若干不同频率的单色信号叠加而成的，称为“复合”信号。从频域角度看，复合信号的频谱包含若干条甚至无数条谱线。如图2.3所示 。,注
5、：极端情况下，相邻谱线足够接近时，频谱就可表示成连续的曲线了，原来分立的谱线于是简化为曲线中的一个个点（详见2.2.1）。,2019/6/14,16,图2.3 复合信号与信号频带,2019/6/14,17,考察某个信号的所有单色成分，这些成分覆盖的频率范围，被形象地叫做“频带”。这个范围的大小，就是“带宽”即频带宽度，如图2.3所示。带宽是衡量信号特性的一个重要指标。,2019/6/14,18,频率和幅度对信号而言通常比相位具有更重要的意义。以声波信号为例： 频率小于20Hz时为次声波，人耳通常听不到，但声强（与信号幅度有关）足够大时，人可以感觉到； 频率在20Hz到20KHz之间时为声波，能
6、够被人听到； 频率大于20KHz时为超声波，人无法听见，其方向性好，因此在测量中具有重要的应用价值。 因此，在信号的频域表示中，有时只使用幅度谱。,2019/6/14,19,2.1.2 信号分类,1按信号的性质分 2按信号的自变量或函数取值分 3按信号的时间或频率定义范围分,可以用多种方法对信号进行分类，以下是常见的三种方式：,2019/6/14,20,按信号的性质,可分为确定（性）信号和随机信号两类： 确定信号是指在相同的实验条件下，能够重复实现的信号。根据信号是否具有周期性，又有周期信号和非周期信号之分。 随机信号则是在相同的实验条件下，不能够重复的信号。,2019/6/14,21,按信号
7、的自变量或函数取值,自变量多为时间，按照它的取值是否连续，可分为连续时间信号和离散时间信号。 在此基础上按照函数取值是否连续，常又分出模拟信号、抽（采）样信号、量化信号、数字信号等，具体分类和特点可参见表2.1及图2.4。 有时也仅以函数取值进行分类，将上述模拟信号和抽样信号统称为模拟信号，将数字信号和量化信号统称为数字信号。,2019/6/14,22,表2.1 信号分类,自变量,函数值,2019/6/14,23,图2.4 各种信号,2019/6/14,24,按信号的时间或频率定义范围,在有限的时间区间内有定义，而在区间外为零，这类信号叫做时域有限信号，简称时限信号。矩形脉冲、正弦脉冲等信号都
8、属这种类型。而周期信号、指数信号、随机信号等，则属于时域无限信号。,2019/6/14,25,若信号的所有频率成分都局限在某个范围之中，那么这个信号则属于频域有限信号，简称频限信号。正弦信号、限带白噪声等都属于这种类型。而冲击函数、白噪声、理想采样信号等，则属于频域无限信号，他们的带宽无限宽。,2019/6/14,26,在信号理论中，时域和频域之间存在着“对称性关系”时限信号在频域上是无限信号，而频限信号又对应于时域无限信号。这种关系意味着一个信号不可能同时在时域和频域上都是有限的。,2019/6/14,27,2.2.1 傅里叶级数与傅里叶变换,傅里叶级数 傅里叶变换,2019/6/14,28
9、,傅里叶级数 形式一,周期（为）信号可以表示为余（正）弦分量之和，即可记作如下（三角函数形式的）傅里叶级数：,（2.4）,2019/6/14,29,其中，,2019/6/14,30,傅里叶级数 形式二,或者,（2.5）,其中，,2019/6/14,31,这些分量可以直观地表示成类似图2.3的（实）频谱。,2019/6/14,32,欧拉公式推论,根据欧拉公式可知：,2019/6/14,33,傅里叶级数 形式三,因此傅里叶级数还可以表示成以下指数形式：,（2.6）,其中,2019/6/14,34,需注意的是，各分量的系数是复数，可表示成如下形式：,其中,对应于幅度，,对应于相位。,2019/6/1
10、4,35,因此周期信号或者说它的各分量系数可由如图2.5所示的（复）频谱进行表征。可以看到，复频谱除正频率分量外，还包括负频率分量。负频率的出现是数学运算（欧拉公式）的结果，并无物理意义。,2019/6/14,36,图2.5 复频谱(a),2019/6/14,37,图2.5 复频谱(b),2019/6/14,38,频谱分幅（度）谱和相（位）谱两部分 前者呈偶对称，所有谐波分量的幅度（ ）都降为对应实幅谱（ ）的一半；后者呈奇对称，复谱与实谱的相位谱值相等。 复指数形式的傅里叶级数（对应于复频谱）是周期信号频域分析的最基本方法。,2019/6/14,39,【例2-1】,【例2-1】 试求图2.6
11、所示的周期矩形脉冲信号的频谱。,图2.6 周期矩形脉冲信号,2019/6/14,40,解 上述信号在（ ）一个周期内可表示为：, 展成三角函数形式的傅里叶级数,根据式（2.4）可得,2019/6/14,41,注: 其中 称为抽样函数，是信息系统研究中的重要函数之一。,2019/6/14,42,因此，周期矩形信号的三角形式的傅里叶级数为,2019/6/14,43, 展成指数形式的傅里叶级数 根据式（2.6）可得,2019/6/14,44,其中：,其幅度谱和相位谱分别如图2.8所示。,2019/6/14,45,图2.8周期矩形脉冲信号复频谱,2019/6/14,46,图2.8周期矩形脉冲信号复频谱
12、,2019/6/14,47,频谱特点分析, 频谱特点分析,1. 离散谱,无穷多个分量对应于无穷多条谱线，谱线间的离散间隔为 基频 ，幅度随谐波阶次的增高以抽样函 数规律衰减。,2019/6/14,48,2. 谱零点带宽,谱图中,的点，为谱零点。从图2.8中可,见，第一个谱零点的位置在,，即包,络函数（抽样函数）,的第一个“过零点”。,2019/6/14,49,频谱中高频分量（幅度）的迅速衰减，使得信号的大部分能量（约占总量的90%）集中在第一个零点内的各频率分量上，也就是说，信号的大部分信息是由这些分量携带的。,2019/6/14,50,人们常将这一频率范围 ，称为（谱零点）带宽 。这意味着在
13、允许一定失真的条件下，可以让通信系统只传输 内的分量，舍弃其他的高频成分。,2019/6/14,51,3.时域参数对频谱的影响,时域参数主要包括：信号幅度,、信号周期,和脉冲宽度,。,信号幅度对频谱的特性影响不大。,由于谱间隔为,，另外,，所,以当,增大时，谱线间隔会变密，而谱的幅度,2019/6/14,52,会减小。极端情况下，若,，周期函数转,换为非周期函数，这时离散频谱将成为连续频谱，分量幅值趋于无穷小。,2019/6/14,53,由于,，当,增大时，带宽,减小，,减小时，,增大。这反映了一个普遍的规,律：时域上压缩（,减小），频域上展宽（,增大），反之也成立。考虑一个极端情况，若,，即
14、矩形脉冲变成冲击函数，则,，频谱的高阶谐波分量不衰减，成为,2019/6/14,54,所谓的白色谱，参见3.3.2。另外，根据,，当,增大时，,增大，,减小,也减小，这与能量守恒定律相吻合。,2019/6/14,55,傅里叶变换与反变换,非周期信号指那些维持一段时间便不再重复出现的信号。对非周期信号进行频域分析的一般思路是：周期信号的频谱在 时的极限，就变为非周期信号的频谱，相应的变换为傅里叶变换，简称傅氏变换。,2019/6/14,56,傅里叶变换为：,（2.6）,的物理意义是非周期信号的频谱，它有两个不同于周期信号频谱的特点，其一是连续谱，其二是密度谱，它对应于频谱密度的概念，即单位频率上
15、频谱分量的大小。,2019/6/14,57,另外， 一般为复数，也可写成 。 傅里叶变换可由信号求其频谱，即由时域向频域变换，而傅里叶反（逆）变换则相反，可以在知道频谱的前提下，反过来求原信号，即由频域向时域变换。,2019/6/14,58,傅里叶反变换为：,（2.7）,和 之间的关系可以简单表示成：,（2.8）,2019/6/14,59,双向的箭头表明了两个方向的变换：向右的代表傅里叶变换，向左的代表傅里叶反变换。,表2.3给出了一些常见信号的傅里叶变换对。（略去）,2019/6/14,60,2.2.2 功率（能量）谱,频谱是在频域中描述信号特征的主要方法之一。除此以外，功率（能量）谱也是很常用的工具，用于表示信号的功率（能量）在频域中随频率变化的情况，对研究信号的功率（能量）分布以及确定信号所占带宽等有着非常重要的意义。,2019/6/14,61,2.2.2 功率（能量）谱,1能量信号和功率信号 2能量谱 3功率（密度）谱 4能量脉宽与带宽,2019/6/14,62,1能量信号和功率信号,信号在,电阻上消耗的（归一化）能量定义为,（2.9）,如果信号满足以下两个条件：随时间衰减；是非周期（时限）信号，则信号的能量是有限的，称为能量信号，其平均功率为零。,2019/6/14,63,而其他信号诸如周期信号、非周期但不衰减的信号以及随机过程等，它们的能量无穷大，但平均功
