高考文科数学一轮复习：正弦定理和余弦定理的实际应用

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1、正弦定理和余弦定理的实际应用,高考文科数学一轮复习,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.,2.实际问题中的常用角,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,教材研读,考点一 测量距离问题,考点二 测量高度问题,考点三 测量角度问题,考点突破,教材研读,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方

2、向的水平锐角,如南偏东30,北 偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的,方位角为(如图). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比) 3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系;,(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.,知识拓展 实际测量中的常见问题,续表,1.判断正误(正确的打“”

3、,错误的打“”) (1)东北方向就是北偏东45的方向. ( ) (2)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为+=1 80. ( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 . ( ),(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的 位置关系. ( ) (5)方位角的大小范围是0,2),方向角的大小范围一般是 . ( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方 向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( ),A.a k

4、m B. a km C. a km D.2a km,B,答案 B 在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2- 2ACBCcos 120=a2+a2-2a2 =3a2,AB= a(km),故选B.,3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为 ( ) A.北偏西5 B.北偏西10 C.北偏西15 D.北偏西20,答案 B 易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30= 10,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10.,B,4.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出A,C的距 离为50 m,ACB=45,CAB=105,则可以计算

5、出A,B两点间的距离为 .,答案 50 m,解析 由题意,易得B=30. 由正弦定理,得 = , AB= = =50 (m).,5.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点 的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB= .,答案,解析 因为D=30,ACB=60, 所以CAD=30, 故CA=CD=a, 所以AB=asin 60= .,测量距离问题,考点突破,典例1 如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一 段长度为300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作 为观测点,现测得PAB=90,PAQ=PBA=PBQ=60,则P

6、,Q两点间 的距离为 m.,答案 900,解析 由已知,得QAB=PAB-PAQ=30.又PBA=PBQ=60, AQB=30,AB=BQ.又PB为公共边, PABPQB,PQ=PA.在RtPAB中,AP=ABtan 60=900,故PQ= 900,P,Q两点间的距离为900 m.,方法技巧 1.测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何,实质都是要求 这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同 而已,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础,将已知线 段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键.,2.求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的

7、三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他 量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,1-1 隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距 千米的C、D 两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、 D在同一平面内),则两目标A、B之间的距离为 千米.,答案,测量高度问题,典例2 为了测量某新建的信号发射塔AB的高度,先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C,D,测得BDC=60,BCD=75,CD=40 m,并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为

8、30,且CE=1 m,则 发射塔高AB= ( ) A.(20 +1)m B.(20 +1)m C.20 m D.(40 +1)m,A,答案 A,解析 如图,过点E作EFAB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1,AEF=30. 在BCD中,由正弦定理得, BC= = =20 . 所以EF=20 ,在RtAFE中, AF=EFtan AEF=20 =20 , 所以AB=AF+BF=(20 +1)m.,方法技巧 高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是 类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的 三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.,2

9、-1 如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D 的仰角为30,塔底C与A的连线同河岸成15角,小王向前走了1 200 m到 达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60角,则电视塔CD的高度为 m.,答案 600,解析 在ACM中,MCA=60-15=45,AMC=180-60=120,由正 弦定理得 = ,即 = ,解得AC=600 . 在ACD中, tanDAC= = , DC=600 =600 .,测量角度问题,典例3 已知岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉 私艇朝何方向以多大速度

10、行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?,解析 如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私 艇的速度为每小时x海里,结合题意知BC=0.5x,AC=5,BAC=180-38- 22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120, 所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14. 又由正弦定理得sinABC= = = , 所以ABC=38, 又BAD=38,所以BCAD, 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住 该走私船.,方法技巧 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图

11、形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角 形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 提醒 方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄 清楚是哪一个点的方向角.,3-1 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发现 在北偏东45方向,相距12 n mile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截 住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,解析 如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x 小时, 则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(负值舍去). 故AC=28 n mile,BC=20 n mile. 根据正弦定理得 = , 解得sin = = . 所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时 间为2小时,角的正弦值为 .,