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1、函数、导数及其应用,第二章,第三节 函数的奇偶性与周期性,1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性,栏,目,导,航,1函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),原点,y轴,2周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),最小,最小正数,1
2、函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇,B,教材母题 (P19练习2)已知函数f(x)3x32x， (1)求f(2)，f(2)，f(2)f(2)的值； (2) 求f(a)，f(a)，f(a)f(a)的值 高考试题 2(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.,解析 由已知得，f(2)2(2)3(2)212，又函数f(x)是奇函数，所以f(2
3、)f(2)12.,12,解析 f(1)122，又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2.,2,4(P39A组T6 改编)设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.,(2,0)(2,5,5(2019湖南郴州摸底)若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.,解析 T5， f(8)f(2)f(2)2，f(14)f(1)f(1)1，f(8)f(14)2(1)1.,1,自主 完成,判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断 (2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断 (
4、3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断,考向2：函数奇偶性的应用 1已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x2x1，则f(f(1)等于( ) A1 B1 C2 D2,解析 yf(x)是奇函数， f(1) f(1)1， f(f(1)f(1)1.,A,2,1,(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解 (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可
5、用此法,师生共研,(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.,解析 f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 018)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.,1 010,函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值,A,函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它
6、们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主. 多以选择题、填空题形式出现,多维探究,考向1：单调性与奇偶性结合 (2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是( ) A2,2 B1,1 C0,4 D1,3,解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x) .f(1)1， f(1)f(1)1. 故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1) 又f(x)在(，)单调递减，1x21， 1x3.,D,变式探究,若将本例变为：已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0. 若f(x1)
7、0，则x的取值范围是_.,(1，3),C,解析 f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)， f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)f(x)， 函数f(x)是周期为4的周期函数 由f(x)为奇函数得f(0)0. 又f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线x1对称， f(2)f(0)0，f(2)0.,又f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.,变式探究
8、若本例中函数为偶函数，且f(x4)f(x2)，f(3)2，求f(2 019)的值. 解 f(x4)f(x2)， f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)， f(x)是周期为6的周期函数， f(2 019)f(33663)f(3)2.,D,函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 (2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 (3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解,D,素养练 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x(0,1时，f(x)1x，则函数f(x)在0,2 017上的零点个数是( ) A1 008 B1 009 C2 017 D2 018,解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为2，则有f(0)f(2)f(4)0，又x1,0)时，x(0,1，则f(x)f(x)(1x)1x，作出函数f(x)在1,1上的图象，并结合周期性加以延展，如图所示，可知f(1)f(3)f(5)0. 故f(x)在0,2 017上的零点个数是2 01712 018.,D,
