《难点06 利用导数研究函数的单调性，最值与极值-2017年高考二轮核心考点数学（附解析）$777307》由会员分享，可在线阅读，更多相关《难点06 利用导数研究函数的单调性，最值与极值-2017年高考二轮核心考点数学（附解析）$777307（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇难点6 利用导数研究函数的单调性、最值与极值【热点考法】利用导数研究函数的单调性、最值与极值是理念高考考查的重点和难点，考查形式为选择题填空题或解答题，主要考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值进而研究函数的图像与性质，再利用函数图像、最值等性质解不等式恒成立问题，证明不等式，难度为容易题、中档题或难题，分值为12至17分.【热点考向】考向一 利用导数研究函数的单调性【解决法宝】函数的单调性问题（1）利用导数判定函数的单调性：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法：求单调区间问题，先求函数的定义域
2、，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题：先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.例1【2017届山西省太原市高三模拟考试（一）】已知函数在处的切线经过点（1）讨论函数的单调
3、性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【分析】(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数 满足 ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为 . 【解析】（1）由题意得，在处的切线方程为即，点在该切线上， 函数在单调递减；考向二 利用导数求函数的极值【解决法宝】函数的极值问题 求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则
4、在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.例2【辽宁省沈阳市大东区2017届高三质量监测】已知，函数.（）当时，求的单调区间；（）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.【分析】（）首先注意到函数的定义域，求函数的导数 ，在定义域内求 和 的区间；（）
5、首先求 ，根据导数 ，得到 ，得到根与系数的关系，其中 ，并代入求 ，并求函数 的最小值，即得到的取值范围.（）由已知得， ，令，得，有两个极值点，又，设， ,，当时，恒有，在上单调递减，故，又恒成立，.考向三 利用导数求函数的最值【解决法宝】函数最问题 对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式（）（是自变量，是参数）恒成立问题，（），转化为求函数的最值问题，注意函数最值
6、的区别于联系.例3【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试数学理试题】已知函数.（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.【分析】（1）函数单调递增等价于导函数，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数 当时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.【解析】（） 函数在区间上单调递增，. ，令， ，.
7、（） ， ， ， ， ，由（）知在上单调递减，且， , 的最小值的取值范围是【热点集训】1.【广西陆川县中学2017届高三下学期知识竞赛】已知函数（为自然对数的底数），当时， 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 2.【2017届安徽省安庆市高三模拟考试（二模）】若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,则，且所以3.【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】令 ，则 ,所以当 时, ;
8、 当 时, , 所以函数 在 内为减函数, 在 内为增函数, 且在 时取得极小值,所以 , 故有 , 又 , 所以 .4.【2017届陕西省咸阳市高三二模】已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令是定义在上的单调递减函数，且所以选A. 5.【河北省曲周县第一中学2017届高三下学期第一次模拟考】已知函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D6.【云南省曲靖市第一中学2017届高三第六次月考】已知函数若其导函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则，即恒成立，只需，解得
9、，故选C7.【海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考】已知函数满足，当时，当时的最大值为，则实数的值等于（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】，当时， ，又的最大值为，的最大值为，令，则，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减，故，得，故选D.8.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第三次阶段测】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时， ，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.【2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考】已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B
10、. C. D. 【答案】D【解析】由于定义在上的偶函数在上递减，则在上递增，又，则 可华化为：，即对恒成立，则，所以： 且 对同时恒成立.设， ，则 在上递增，在上递减， .设 ， ， 在 上递减， .综上得： 的取值范围是. 10.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】关于 的方程，即：,令函数,若方程在在区间上有两个不等实根，即函数与在在区间有两个不相同的交点，,令可得，当时 ,函数是减函数,当时, ，函数是增函数，函数的最小值为：， .函数的最大值为：方程 在关于的方程在区间上有两个不
11、等实根，则实数的取值范围是.，故选：A. 11.【江西省百校联盟2017届高三2月联考】若函数存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】A12.【2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟】已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】因为，所以令，可得函数的两个极值点分别为，由题意，即，解之得或，应填答案。13.【江西省鹰潭市2017届高三第一次模拟】已知函数，当有最大值，且最大值大于时，则的取值范围是_【答案】14. 【2017届内蒙古包头市十校高三联考】设函数的最大值为，最小值为，则_【答案】2【解析】，令，解得：或 ，当时， ，函数单调递增
12、，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以经计算 ， ，所以函数的最大值是3，最小值是-1，则.15.【2017届河南中原名校豫南九校高三理上学期质检】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则的大小关系是 【答案】【解析】令，则当时，所以当时，因为，而，所以16【安徽省安庆市2017届高三模拟考试（二模）】已知函数（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若， ，证明： .【答案】(1) 当，单调递增区间为；当时，单调递增区间为和;(2)见解析.（2），则， ，欲证，即证在上单调递减，令，则在上为减函数，而，则，在上单调递减，又，.17.【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】设， .
13、（1）， 与均在取到最大值，求及的值；（2）时，求证： .【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1） 时在递增， 递减，1为最大值点，即时 在增 无最值 时 增减最大值为 ， （2）， 所以在18.【四川省成都市2017届高三第二次诊断性检测】已知函数，其中.（1）若在上存在极值点，求的取值范围；（2）设， ，若存在最大值，记为，则当时， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值为（2）若，在上满足， 在上单调递减，.不存在最大值.则.方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设则.在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，
14、有，.将， 代入上式，消去得， .据在上单调递增，得.设， .， .，即在上单调递增.存在最大值为.19.【三湘名校教育联盟.2017届高三第三次大联考】已知函数.（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足， 的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）;（2）【解析】（1）由已知，函数的定义域为， 由在定义域上单调递减，则恒成立，所以，当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减即在内单调递增， 内单调递减，所以（2）当时， ，恒成立，当时，由（1）知， 在内单调递减，（i）若，由（1）知， 在内单调递减，则， 无零点，不符合题意;由于恒成立，且有唯一零点，结合，知，联立得设，则， ，且当时， ，
