2019年数学中考备考二次函数压轴题精选含解答

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1、20192019 年中考备考二次函数压轴题精选年中考备考二次函数压轴题精选 1.在平面直角坐标系中，抛物线 yax24ax+4a1（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴 交于点 C，抛物线对称轴交 x 轴于点 E，抛物线顶点为点 D，OC3DE （1）如图 1，求抛物线的解析式； （2）如图 2，连接 CB，点 P 为第一象限的抛物线上一点，过点 P 作 PMx 轴于点 M， PM 的延长线交 CB 的延长线于点 N，若点 P 的横坐标为 t，PN 的长为 d，求 d 与 t 的函 数关系式，并写出 t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 PA 并延长交 y 轴于点 F，连接 F

2、N，点 R、Q 分别为抛物 线（点 R 在点 P、B 之间）、y 轴上的点，分别连接 RN、QN，PNFRNQ，连接 RQ， 点 S 为 RQ 上一点，连接 NS，将射线 NS 绕点 N 逆时针旋转 45后，交 RQ 于点 T，若 tanPFN2，RNQN，RS：ST4：5，求点 S 的坐标 【分析】（1）通过配方可求出抛物线顶点 D（，1），由 OC3DE 可求出 a 的值； （2）已知点 P 的横坐标为 t，点 P 在抛物线上，可知点 P 的纵坐标，PNy 轴，可知点 N 的横坐标和点 P 的横坐标相同，点 N 在直线 BC 上，可知点 N 的纵坐标，d 等于点 P 的纵坐标减点 N 的纵

3、坐标则 d 可表示 （3）利用PMAAFO，可得出点 F 的纵坐标和点 N 的纵坐标相同，所以 FN 的连线 平行于 x 轴， 再根据PFN 的正切值求出各个点的坐标， 因为 RNQN， 且夹角等于 90， 可求点 Q、R 的坐标，再根据 RS：ST4：5，可求点 S 的坐标 【解答】解：（1）在 yax24ax+4a1 中，令 x0，得 y4a1，OC4a1， 由 yax24ax+4a1 a（x2）21 得 D（2，1）， DE1， OC3DE， 4a13， a1； 故抛物线的解析式为 yx24x+3 （2）在 yx24x+3 中，令 y0，得 x24x+30，解得 x11，x23； OB3

4、，OC3，MBt3 PMx 轴， PNy 轴， CBONBM， ， MNt3； PMt24t+3， PNPM+MNt24t+3+t3t23t， 故 dt23t（t3） （3）如图所示， 由题意可知，PAMFAO， ，即 解的 OFt3， F（0，3t） N（t，3t）， FNx 轴， PNF90， tanPFN2， 2， 解得 t5，或 t0（舍）， P（5，8），F（0，2），N（5，2）， PNFRNQ，QNRN， QNR 为等腰直角三角形， 过点 R 作 REPN， 可知RENQFN（AAS）， ENFN5， 点 R 和点 E 的纵坐标都为 3， C（0，3），点 R 在抛物线上，根据抛

5、物线的对称性可知点 R（4，3），点 E（5，3）， 过点 Q 作 QJRQ，并使 QJRS，连接 NJ， NQJSRN45， RNQN， RSNNQJ（SAS） RNSQNJ，NSNJ， SNT45， RNS+TNQ45，即TNJ45， NTNT NSTNJT（SAS）， RS：ST4：5，设 RS4m，则 ST5m， QJ4m，JT5m， 在 RtTQJ 中，根据勾股定理得 TQ3m， 过 S 作 SKy 轴， QSKQRC ， 即， 解得 SK，QK4， S（，1） 【点评】此题为二次函数的综合应用题，考查了抛物线与各坐标轴的交点坐标的求法， 点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数的结

6、合，三角函数在直角三角形中的应用， 以及全等三角形和相似三角形的应用，综合性很强 2.如图，二次函数 yax2+bx（a0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x，线 段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D，在 y 轴上取一点 C（0，2），直线 AC 交抛物线于点 B，连结 OA，OB，OD，BD （1）求该二次函数的解析式； （2）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，将BPF 沿边 PF 翻折，得到 BPF，使BPF 与DPF 重叠部分的面积是BDP 的面积的，若点 B在 OD 上 方，求线段 PD 的长度； （3）在（2）的条件下，过 B作 BHPF 于

7、 H，点 Q 在 OD 下方的抛物线上，连接 AQ 与 BH 交于点 M，点 G 在线段 AM 上，使HPN+DAQ135，延长 PG 交 AD 于 N若 AN+BM，求点 Q 的坐标 【分析】（1）根据二次函数 yax2+bx（a0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x ，列出方程组即可解决问题 （2）如图 1 中，首先求出直线 AC 与抛物线的交点 B 坐标，再证明 DPPP，推出 四边形 BFBP 是菱形，在 RTPOB 中求出 OP 即可解决问题 （3）如图 2 中，过 A 作 AIHP，可得四边形 ABHI 是正方形，过 A 作 ALPN，连接 ML，在 RtMHL 中，由

8、ML2MH2+HL2列出方程即可解决问题 【解答】解：（1）由题意得，解得， 二次函数的解析式为 yx2+3x （2）如图 1 中，A（1，4），C（0，2）， 设直线 AC 解析式为 ykx+b，则， 解得 直线 AC 解析式为 y2x+2， 由解得或， B（2，2）， D（4，4） BD2， DFFB， SDFPSBFP， SPFPSPBD， SDPFSPPF PPDP， PBPF， BFPPFBFPB， PBBFFB， 四边形 BFBP 是平行四边形， BFBP 四边形 BFBP 是菱形， PB， P 在 yx 上，OB2， 在 RtOPB 中，OP， P（1，1） PD3； （3）如图

9、 2 中，由（2）得 F（3，1），P（1，1）B（2，4） 过 A 作 AIHP，可得四边形 ABHI 是正方形，过 A 作 ALPN，连接 ML 由HPN+DAQ135得MGP45， MAL45， 设 BMm，则 ANm， PLm， LIm， MLBM+LI2m， 在 RtMHL 中，ML2MH2+HL2，（2m）2（m）2+（3m）2， 解得 m， M（2，）， 直线 AM 解析式为：yx+， 由解得或， Q（，） 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、菱形的判定和性质、翻折变换、勾股定 理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个 函数交点坐标，学会

10、构建方程解决问题，属于中考压轴题 3如图 1，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上 求四边形 ACFD 的面积； 点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQx 轴交该抛物线 于点 Q，连接 AQ、DQ，当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标 【分析】（1）由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）连接 CD，则可知 CDx 轴，由 A、F 的坐标可

11、知 F、A 到 CD 的距离，利用三 角形面积公式可求得ACD 和FCD 的面积，则可求得四边形 ACFD 的面积；由题 意可知点 A 处不可能是直角，则有ADQ90或AQD90，当ADQ90时， 可先求得直线 AD 解析式， 则可求出直线 DQ 解析式， 联立直线 DQ 和抛物线解析式则可 求得 Q 点坐标；当AQD90时，设 Q（t，t2+2t+3），设直线 AQ 的解析式为 y k1x+b1，则可用 t 表示出 k，设直线 DQ 解析式为 yk2x+b2，同理可表示出 k2，由 AQ DQ 则可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，即可求得 Q 点坐标 【解答】解： （1）由题意可得，

12、解得， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， F（1，4）， C（0，3），D（2，3）， CD2，且 CDx 轴， A（1，0）， S 四边形ACFDSACD+SFCD 23+2（43）4； 点 P 在线段 AB 上， DAQ 不可能为直角， 当AQD 为直角三角形时，有ADQ90或AQD90， i当ADQ90时，则 DQAD， A（1，0），D（2，3）， 直线 AD 解析式为 yx+1， 可设直线 DQ 解析式为 yx+b， 把 D（2，3）代入可求得 b5， 直线 DQ 解析式为 yx+5， 联立直线 DQ 和抛物线解析式可得，解得或， Q（1，4

13、）； ii当AQD90时，设 Q（t，t2+2t+3）， 设直线 AQ 的解析式为 yk1x+b1， 把 A、Q 坐标代入可得，解得 k1（t3）， 设直线 DQ 解析式为 yk2x+b2，同理可求得 k2t， AQDQ， k1k21，即 t（t3）1，解得 t， 当 t时，t2+2t+3， 当 t时，t2+2t+3， Q 点坐标为（，）或（，）； 综上可知 Q 点坐标为（1，4）或（，）或（，） 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性 质、 直角三角形的性质及分类讨论思想等知识 在 （1） 中注意待定系数法的应用， 在（2） 中注意把四边形转化为两个三角

14、形，在利用互相垂直直线的性质是解题的关键本 题考查知识点较多，综合性较强，难度适中 4.4.在平面直角坐标系 xOy 中抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（1，0），C （0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当BCD 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0） 是 x 轴上一动点，若MNC90，直接写出实数 m 的取值范围 【分析】（1）由 yx2+bx+c 经过点 A、B、C，A（1，0），C（0，3），利用待定系 数法即可求得此抛物线的解析式； （2）首先令x2+2x+30，求得点 B 的坐标，然后设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 由待定系数法即可求得直线 BC 的解析式， 再设 P （a， 3a） ， 即可得 D （a， a2+2a+3） ， 即可求得 PD 的长，由 SBDCSPDC+SPDB，即可得 SBDC（a）2+，利 用二次函数的性质，即可求得当BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m（n）2，然后根 据 n 的取值得到最小值 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 抛物线解析式