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1、天津市新华中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 2若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆
2、外 D. 以上都有可能3圆与圆的公共弦长为（ ）A. B. C. D. 4已知椭圆的两个焦点分别为， ，斜率不为的直线过点，且交椭圆于， 两点，则的周长为（ ）A. B. C. D. 5若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 6经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 7若双曲线的两个焦点， ， 为双曲线上一点，且，则的面积为（ ）A. B. C. D. 8（理科生做）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于， 两点，过， 分别作， 的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是
3、（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题9若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_10若双曲线的离心率为，则实数_11经过两点， 的椭圆的标准方程为_12已知双曲线： 的右顶点为，以为圆心， 为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为_13已知圆 及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足，则动点的轨迹的方程为 14已知、是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为_三、解答题15已知圆（）求与圆相切，且在轴、轴上的截距相等的直线方程（）已知过点的直线交圆于、两点，且，求直线的方程16已知
4、椭圆E:x2a2+y2b2=1(a0,b0)过点A(0,2)，且离心率为22（1）求椭圆E的方程（2）已知双曲线C的离心率是椭圆E的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线C的方程17平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0,b0)的离心率为32，左右焦点分别为F1和F2，以点F1为圆心，以3为半径的圆与以点F2为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆E:x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，射线PO交椭圆E于点Q求|OQ|OP|的值求ABQ面积的最大值天津市新华中学2017
5、-2018学年高二上学期期中考试数学 答 案1A【解析】将化为斜截式，即该直线的斜率为故选2C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系的判定法则，由于直线与圆C： 相交，可知圆心（0，0），到直线的距离d=,根据点与圆的位置关系可知点在圆的外面，故选A.考点：考查了直线与圆的知识。点评：解决该试题的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系来判定，当相交时，则圆心到直线的距离小于圆的半径，属于基础题。3D【解析】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为，圆的半径，圆心到直线的距离，则弦长故选4C【解析】由题意可得， 周长 .故选点睛：本题考查椭圆的定义；在解决过椭圆或双曲线的两焦点的弦长问题时
6、，往往要利用椭圆或双曲线的定义进行处理，如本题中利用椭圆的定义将求三角形的周长转化为， 到椭圆的两个焦点的距离的和.5A【解析】设弦的两端点为， ， 为中点得， ， 在椭圆上有,两式相减得即，即即，则，且过点，有，整理得故选点睛：本题考查椭圆的中点弦问题；中点弦问题是直线和圆锥曲线的位置关系中的典型问题，其主要方法是点差法，可避免较复杂的运算量.点差法的主要步骤是：（1）设点，代入圆锥曲线的方程；（2）作差，利用平方差公式进行整理；（3）得到直线的斜率和线段中点坐标间的关系.6C【解析】设与渐近线相同的双曲线方程为，将代入，得，即，则为故选点睛：本题考查双曲线的几何性质；在设双曲线的方程时，注
7、意一些技巧设法，可避免讨论，如：如本题中与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，再如以为渐近线的双曲线方程可设为.7B【解析】由题意可知，则， ， ，由余弦定理得，即，解得， ，则故选点睛：本题考查双曲线的定义、余弦定理；在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，可起到事半功倍的效果.如本题中，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.8A【解析】试题分析：由题意，根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得： ，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线斜率，故选A考点：1双曲线的简单性质；2直线的斜率9【解析】点关于
8、的对称点为，则圆的圆心为半径为，故标准方程为102【解析】， .渐近线方程是.11【解析】设方程为，代入， 得， ，解得， ，故方程为12【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，而，所以，点到直线的距离，在中， ，代入计算得，即，由得，所以.点睛:双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是；双曲线的顶点到渐近线的距离是.13【解析】试题分析：由可知，点为线段的中点，又由得，即点在线段的中垂线上（如下图所示），所
9、以点是线段的中垂线上与直线的交点，所以有，所以动点的轨迹是以为焦点，的椭圆，其中，所以，所以椭圆方程为考点：1椭圆的定义及标准方程；2向量的几何意义及运算【方法点睛】本题主要考查向量的几何意义、运算以及椭圆的定义、标准方程等知识，属中档题解决此类问题首先是将题中向量的条件经过正确的翻译转化为几何条件，再由圆锥曲线的定义得到曲线类型，由待定系数法求标准方程14【解析】设椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为， ，焦半径为，设，则有， ，解得， ，由余弦定理得，整理得， ，当时成立等号，即椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为15）（1）；（2）或.【解析】试题分析：（）设出直线的截距式方程，利用
10、圆心到直线的距离等于半径进行求解；（）设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离、弦长公式进行求解.试题解析：（）若直线过原点，设为，圆心为，半径为，则由与圆相切，可得，解得，此时直线方程为若直线不过原点，设为，则，解得或，此时直线方程为或，综上所述，直线方程为或（）若斜率不存在，则直线方程为，弦长距，半径为，则，符合题意若斜率存在，设直线方程为，弦心距得，解得，综上所述，直线的方程为或.点睛：本题考查直线和圆的位置关系；在处理直线和圆的位置关系时，往往要先设出直线的方程，常利用条件设直线的点斜式方程、斜截式方程，但要讨论“斜率是否存在”，以免出现漏解，如本题中都要讨论“斜率是否存在”.16(
11、1) x28+y24=1 (2) x24-y24=1 【解析】试题分析：（1）由题意可得b=2，e=ca=22，从而解得椭圆E的方程；（2）由题意可得双曲线离心率e=2，又a=2，从而得到双曲线C的方程试题解析：解：（1）由题意可得b=2，e=ca=22，解得a=22，c=2，故椭圆方程为x28+y24=1（2）由题意可得双曲线离心率e=ca=1e=2，a=2，则c=22，b=2，故双曲线方程为x24-y24=117(1) x24=y2=1 (2) 223【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义可得2a=4，再结合离心率得到椭圆C的方程；（2）（i）设P（x0，y0），|OQ|OP|=，求得Q的坐
12、标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值试题解析：解：（1）设两圆的一个交点为P，则PF1=3，PF2=1，由P在椭圆上可得PF1+PF2=2a=4，则a=2，e=ca=32，得c=3，则b=a2-c2=1，故椭圆方程为x24=y2=1（2）椭圆E为方程为x216+y24=1，设P(x0,y0)，则有x024+y02=1，Q在射线OP上，设
13、Q(x0,y0)0，代入椭圆E可得2x0216+2y024=24x024+y02=1，解得=2，即Q(2x0,2y0)，OQOP=(2x0)2+(2y0)2x02+y02=2（理）由可得P为OQ中点，P在直线上，则Q到直线的距离与O到直线的距离相等，故d=|m|1+k2，联立y=kx+mx216+y24=1，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，则x1+x2=-8km1+4k，x1x2=4m2-161+4k2，|AB|=1+k2|x1-x2|=41+k216k2-m2+41+4k2，联立y=kx+mx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，0m24k2+1，SABQ=12|AB|d=2|m|16k2-m2+41+4k2，=2-m4+(16k2+4)m21+4k22(8k2+2)1+4k2，=23，当且仅当m2=4k2+1时等号成立，故SABQ最大值为23
