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1、第 1页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 存在性问题存在性问题专题专题 （含答案）（含答案） 1. 已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）试讨论函数 ? ? 的单调区间； （2）若 ? ? ?th ，对于 ? ? ? ?th ，不等式 ? ? ? ? h ? 都成立，求实数 ? 的取值范围 2. 已知函数 ? ? ? ? ?hh ? （1）当 ? ? ? 时，求曲线 ? ? ? ? 在点 ht? h处的切线方程； （2）在区间 ?th 内至少存在一个实数 ?，使得 ? ? ? ? 成立，求实数 ? 的取值范围 3. 已知等差数列 ?满足：? t，
2、? ?数列 ?的前 ? 项和为 ? h? ? h ? ? ? （1）求数列 ?和 ?的通项公式； （2）令 ? h?，试问：是否存在正整数 ?，使不等式 ?h ? ? ?h ?成立?若存在，求出相 应 ? 的值；若不存在，请说明理由 4. 已知函数 ? ? ? ln? ? ? h ?h? h?h ?，? ? ? （1）若 ? ? 在 ? ? h 处的切线与直线 h?h ? ? ? 垂直，求 ? 的值； （2）若 ? ? 存在单调递减区间，求 ? 的取值范围 5. 已知函数 ? ? ? ?h? ? h ? ?t? ? ? （1）若 ? ? h，且不等式 ? ? ? ? 在 ?t 上有解，试求 ?
3、 的最小值； （2）若 ?，?h是方程 ? ? ? ? 的两实根，且满足 ? ? ? h ? ?h? ，试求 ? h ? 的范围 第 2页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 6. 已知函数 ? ? ? h ? ? 有如下性质：如果常数 ? ? ?，那么该函数在 ?t ? 上是减函数，在?t h ? 上是增函数 （1）已知 ? ? ? ?h?h? h?h? t? ? ?t? ，利用上述性质，求函数 ? ? 的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数 ? ? 和函数 ? ? ? ? ? h?，若对任意 ? ?t? ，总存在 ?h? ?t? ， 使得 ? ?h? ? ?
4、成立，求实数 ? 的值 7. 已知函数 ? ? ? ? ?hh?，其中 ? ? ? （1）求 ? ? 的单调区间； （2）设 ? ? ?，若 ? ? ? t ? ，使 ? ? ? ?，求 ? 得取值范围 8. 设 ? ? 是 ? 上的奇函数，且对任意的实数 ?，? 当 ? h ? ? ? 时，都有 ? ? h? ? ?h? ? ? （1）若 ? ? ?，试比较 ? ? ，? ? 的大小； （2）若存在实数 ? ? ? h t ? h 使得不等式 ? ? ? ? h ? ? ? ?h? ? 成立，试求实数 ? 的取值范围 9. 已知函数 ? ? ? ? ? ? h ? ? ? （1）若 ? ?
5、?，解不等式 ? ? ? ?； （2）如果 ? ? ?，使得 ? ? ? h 成立，求实数 ? 的取值范围 10. 已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? 的值域为 ? ?t? （1）求实数 ? 的值； （2）若存在 ? ?，使得 ? ? h? ? ?h，求实数 ? 的取值范围 第 3页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 11. 设二次函数 ? ? ? ?hh ?h ? ?t?t? ? ?t? ? ? 满足条件： （a）当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? h ? ? ，且 ? ? ? ?； （b）当 ? ? ?th 时，? ? ?
6、?h? h h； （c）? ? 在 ? 上的最小值为 ? 求最大的 ? ? ? ? ，使得存在 ? ? ?，只要 ? ? ?t? ，就有 ? ? h ? ? ? 12. 已知函数 ? ? ? ? ?hh? ? ? ? （1）若 ? ? ? ? 的解集为 ? ? ? 或 ? ? h ，求不等式 ?hh ? h ? h ? ? ? 的解集； （2）若存在 ? ?，使得 ? ? ? 成立，求 ? 的取值范围 13. 已知函数 ? ? ? ? ? ? h ? h ? ，? ? ? （1）解不等式 ? ? ? ?； （2）若不等式 ?hh ? ? ? ? 在 ? ? ? 上有解，求实数 ? 的取值范围
7、14. 设 ? ? ? ?hh ? ? ? ? ? ? （1）试判断函数 ? ? 零点的个数； （2）若满足 ? ? ? ? ? ? ? h ? ，求 ? 的值； （3）若 ? ? ? 时，存在 ? ? ?th 使 得 ? ? ? ? ? ? 成立，求 ? 的取值范围 第 4页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 15. 已知正项数列 ?的前 ? 项的和为 ?，且 ? ? ? ? ?h? ? ? ? ? ?t? ? ?t? ? ? ，数列 ?满足 ? hlog? （1）分别求 ?和 ?的表达式 ； （2）设数列 ? ? 的前 ? 项和 ?，当 ? ? ? h 时，求证
8、： ? ? ? ； （3）是否存在正整数 ? ，使得 ? ? ? 时， ? ? 恒成立?若存在，求出相应的 ? 的值；若不 存在，请说明理由 16. 设 ?，?h为函数 ? ? ? ?hh ? ? ? ? h ? ? ? ? 两个不同零点，且满足 ?h? ? h （1）若对任意 ? ? ? 都有 ? h ? ? ? ? h h ? ，求 ? ? ； （2）设 ? ? ? ? ? h h ?h? ? ，试证明必存在 ? ? 使得 ? ? 成立 17. 设函数 ? ? ? ?e?，? ? ? ?hh ? （1）若 ? ? 与 ? ? 具有完全相同的单调区间，求 ? 的值； （2）若当 ? ? ?
9、时恒有 ? ? ? ? ? ，求 ? 的取值范围 18. 已知公差不为 ? 的等差数列 ?的首项 ? ?，前 ? 项和为 ?，且 ?，?h，?成等比数列 （1）求数列 ?的通项公式及 ?； （2）记 ? ? ? ? h ? ?h h ? h ? ?，? ? ? ?h ?h ? ?h ?h ? ? ?h ?，当 ? ? h 时，比较 ? 与 ? 的大小； （3）是否存在实数 ?，使得对任意的正整数 ?，?，都有 ? h h ? h ? ? ? ?h? h 成立若存在，求 ? 的最大值；若不存在，请说明理由 第 5页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 19. 已知函数
10、? ? ? ? ? ? h h?h ? ，? ? ? （1）当 ? ? ? 时，解不等式 ? ? ? ?； （2）若存在实数 ? 满足 ? ? h ? ? ? ? h，求 ? 的取值范围 20. 已知关于 ? 的不等式 ? ? ? ? h? ? ? ? log? ? （其中 ? ? ? ） （1）当 ? ? ? 时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数 ? 的取值范围 21. 设函数 ? ? ? ? ? ? （1）若 ? ? ? h 的解集为 ? ?th ，求实数 ? 的值； （2）当 ? ? h 时，若存在 ? ? ?，使得不等式 ? h?h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、成立，求实数 ? 的取值范围 22. 设函数 ? ? ? ?hh ? ? ln? ? ? ? （1）若 ? ? ?，求函数 ? ? ? ? 的单调区间； （2）若函数 ? ? 在区间 ?t? 上是减函数，求实数 ? 的取值范围； （3）过坐标原点 ? 作曲线 ? ? ? ? 的切线，证明：切点的横坐标为 ? 第 6页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 23. 已知函数 ? ? ? ?hh ?h ? （1）设 ? ? ?，若 ? ? ? 在 ? ? ?t? 上单调递增，求实数 ? 的取值范围 （2）求证：存在 ? ? ?t? ，使 ? ? ? ? 24. 已知命题 ?
12、知 关于 ? 的方程 ?h?hh ? ? h ? ? 在 ? ?t? 上有解；命题 ?知 只有一个实数 ? 满足不 等式 ?hh h? h h? ? ?若“? 或 ?”是假命题，求实数 ? 的取值范围 25.已 知 二 次 函 数? ? ? h?hh ?h ?为 偶 函 数 ， ? ? ? ? ? ? h ? ， ? ? ? ? ? h ? h ? ? h 关于 ? 的方程 ? ? ? ? ? 有且仅有一根 ? h （1）求 ?，?，? 的值； （2）若对任意的 ? ? ? ?t? ， ? ? ? ? ?恒成立，求实数 ? 的取值范围； （3）令 ? ? ? ? h? ? ? ? ，若存在 ?
13、t? h? ?t? 使得 ? ? ? ? ?h? ? ? ，求实 数 ? 的取值范围 26. 设函数 ? ? ? ? ? ? ? ? hln?，其中 e 是自然对数的底数 （1）当 ? ? ? h 时，求函数 ? ? 的极值 （2）若 ? ? 在其定义域内为单调函数，求实数 ? 的取值范围 （3）设 ? ? ? he ? ，若在 ?te 上至少存在一点 ?，使得 ? ? ? ?成立，求实数 ? 的取值 范围 第 7页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 27. 已知函数 ? ? ? e?hh ?h ? （1）当 ? ? ? 时，求函数 ? ? 的单调区间； （2）若关
14、于 ? 的不等式 ? ? ? e?在 ?t h ? 上有解，求实数 ? 的取值范围； （3）若曲线 ? ? ? ? 存在两条互相垂直的切线，求实数 ? 的取值范围；（只需直接写出结果） 28. 已知函数 ? ? ? ?hh ? ? ? h ? ? ? （1）若 ? ? 在区间 ?t? 上不单调，求 ? 的取值范围； （2）若对于任意的 ? ? ?t ，存在 ? ?th ，使得 ? ? ?，求 ? 的取值范围 29. 已知函数 ? ? ? ? ? h ?hh ? ? ?h?，?t?t? ? ? （1）求函数 ? ? 的导函数 ? ? ； （2）当 ? ? ? 时，若函数 ? ? 是 ? 上的增函
15、数，求 ? ? ? h ? 的最小值； （3）当 ? ? ?，? ?h 时，函数 ? ? 在 ht h ? 上存在单调递增区间，求 ? 的取值范围 30. 已知 ? ? ? ?hh ? h ?，?t?t? ? ?，定义域为 ? ?t? （1）当 ? ? ?，? ? ? ? ? 时，求证：? h ? ? ?； （2）当 ? ? h? ? ? 时，是否存在 ? ? ? ?t? ，使得 ? ? ? ? ? ? 第 8页（共 80 页）高中数学解题研究会 339444963 群文件 31. 已知函数 ? ? ? ?ln? h ?hh ?（? 为实常数） （1）若 ? ? h，? ? ?，求 ? ? 的单调区间； （2）若 ? ? ?，? ? h?eh求函数 ? ? 在 ?t?e 上的最小值及相应的 ? 值； （3）设 ? ? ?，若存在 ? ? ?t?e ，使得 ? ? ? ? h h ? 成立，求实数 ? 的取值范围 32. 已知函数 ? ? ? ln? ? （1）记函数 ? ? ? ?h? ? ? ? ? ? ? h th，求函数 F ? 的最大值； （2）记函数 ? ? ? ? he t? ? ?t ? ? t? ? ? ? ?t 若对任意实数 ?，总存在实数 ?，使得 ? ? ?
