《信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 SandS-2-8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统 SandS-2-8（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ThemeGallery PowerTemplate,2-8 卷积积分,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,卷积积分的定义与计算,卷积积分的计算,2-8 卷积积分,本讲开始研究连续时间线性时不变（LTI）统系的建模和分析问题。连续时间LTI系统之所以重要，是因为它们在工程应用中具有以下特点：,一般的工程系统可以用LTI系统进行建模和仿真。例如，基本电路模型、机械模型都是LTI系统模型； LTI系统的方程可以用标准数学方法进行精确的描述和求解； 通过对LTI系统进行相关的分析，可以获得关于系统行为属性的重要信息； LTI系统的分析结果是对系统进行自动控制设计的基础。事实上，自动控制的核
2、心理论就是建立在线性系统分析基础上的；,2-8 卷积积分,在对非LTI系统进行分析和设计之前，通常会对这个非LTI系统在其工作点附近进行线性化处理，得到一个关于原系统的线性近似模型。虽然这个LTI系统模型可能不够精确，但用它却可以使我们按照标准设计方法来启动一个设计过程； 最后一个更直接的原因是，叠加原理适用于LTI系统。,2-8 卷积积分,在时域中，连续时间LTI系统有3中分析方法：,（1）微分方程分析法：这是连续时间LTI系统的经典解法，甚至还可以用于分析非线性及时变系统的解。微分方程分析法的优点是，叠加原理适用于LTI系统的输出或响应的计算。但其缺点也同样明显，即当微分方程的阶次较高时，
3、方程的求解比较困难。,（2）状态变量分析法：这种方法用状态方程组求解一个n阶系统。它基于n个联立一阶微分方程，从n个状态变量的角度描述问题。它对于高阶系统、非线性系统以及多变量（多输入-的输出）也适用。但缺点是需要精确的系统方程。本书暂不讨论这种方法。,2-8 卷积积分,（3）冲激响应分析法： 这种方法通过系统的单位冲激响应函数 描述松弛（初始条件为零）LTI系统。与前两种方法不同，系统的响应（或输出） 直接由系统输入 与系统单位冲激响应 的卷积积分描述。另外，冲激响应分析法还将系统分析的时域方法与变换域方法通过卷积关系联系起来。这种方法是本书关注的方法。,内容安排,2-8-1 连续时间信号的
4、脉冲分量描述,2-8-2 卷积积分概念,2-8-3 卷积积分的性质,2-8-4 卷积积分计算,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,信号 与冲激函数 之间的关系是信号与系统教程中的一个非常重要的关系。首先回顾一下前面关于冲激函数的基本概念。根据式（2-3-11），冲激函数由以下两个联立方程定义,（2-8-1）,而一个更严密的定义是，对于一个在 处连续的任意函数 ，单位冲激函数 定义为,（2-8-2）,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,根据式(2-8-2)，冲激函数的筛选性质为,（2-8-3）,对上式求积分，并根据定义式（2-8-1），有,若要给出信号 与冲激函数 之间的关系，对上式，若
5、令 ，则有,（2-8-4）,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,或,（2-8-5）,式(2-8-5)说明，任意信号 都可以表示为时移单位冲激函数的一个加权积分。其中，时移量由连续变量给出，而加权系数 正比于时刻冲激函数对信号的抽样值。,内容安排,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,2-8-2 卷积积分概念,2-8-3 卷积积分的性质,2-8-3 卷积积分计算,2-8-2 卷积积分概念,设算子H表示一个输入信号为 的系统，若用式(2-8-5)给出的信号作为系统的输入，则系统的输出响应为,假设可以交换积分和算子H的顺序，则有,（2-8-6）,显然，连续时间线性系统对时移单位冲激函数的响应完
6、全体现了系统的输入-输出特性。,2-8-2 卷积积分概念,上式说明，时不变性意味着时移的单位冲激信号将产生具有相同时移量的单位冲激响应。,若选取单位冲激函数 作为系统的输入信号，则系统的输出（也就是响应）就定义为系统的单位冲激响应 ，即,（2-8-7）,2-8-2 卷积积分概念,（2-8-10）,式（2-8-9）指出，LTI系统的输出 等于时移量为的单位冲激响应的加权积分。这个积分就是在信号与系统中占据特殊位置的卷积积分(convolution)，一般用符号“*”表示，即,式中单位冲激响应 表征了一个LTI系统的时域特征。换言之，一旦 已知，这个系统对于任何输入 的响应都可以求得。,将（2-8
7、-8）代入到式（2-8-6）中，得,（2-8-9）,2-8-2 卷积积分概念,注意，引入式（2-8-10）之后，它就给出了连续时间LTI系统分析中的一个重要的概念：松弛系统（Relaxed systems，即初始状态为零的微分方程系统）的响应 是任意输入信号 与系统单位冲激响应 的卷积积分。这个概念，其实就是连续时间系统零状态响应的概念。,内容安排,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,2-8-2 卷积积分概念,2-8-3 卷积积分的性质,2-8-4 卷积积分计算,2-8-3 卷积积分的性质,将式（2-8-10）定义的卷积积分作 的变量代换，可以得到卷积积分的另一种表示形式：,（2-8-11
8、）,上式说明卷积积分满足交换律。如果用变量 替换上式积分中的 ，则卷积积分还可表示为,（2-8-12）,2-8-3 卷积积分的性质,若系统的激励为单位冲激信号，还可推导出卷积积分的另一个性质。即当 时， ，根据定义，系统的输出等于冲激响应 ：,这个性质与 的形式无关。因此，任意函数 与单位冲激函数卷积积分的结果仍然是函数 本身。利用系统的时不变特性，式（2-8-13）可进一步表示为,（2-8-14）,2-8-3 卷积积分的性质,对于任意函数 ，卷积积分的性质可描述为,（2-8-15）,注意，不要将冲激函数的卷积运算与乘积运算相混淆。根据表2-3，冲激函数的乘积性质(筛选特性)可以描述为,和,（
9、2-8-16）,和,2-8-3 卷积积分的性质,卷积积分的其它几个性质如下，它们的证明留作习题。,2-8-3 卷积积分的性质,另外需要说明的是，卷积积分是一种数学运算，它适用于任意函数。例如对于任意两个连续时间函数 和 ，其卷积积分为,（2-8-20）,内容安排,2-8-1 连续时间信号的脉冲分量描述,2-8-2 卷积积分概念,2-8-3 卷积积分的性质,2-8-4 卷积积分计算,2-8-4 卷积积分计算,现考虑将式（2-8-10）给出的卷积积分,（2-8-23）,（2-8-21）,中的被积函数 定义为一个中间信号,（2-8-22）,则式（2-8-10）可简写为,2-8-4 卷积积分计算,、,
10、式中自变量是 ，t则视为常数。时移冲激响应 是 的反折 经平移运算（平移 个单位）后的信号。因此，如果 ，则由 向左移 个单位就可得到 ；如果 ，则 经右移t个单位获得 。t从 变化到 的效果相当于首先将反折后的单位冲激响应 平移到时间轴的最左端（ 远处），然后让它自左向右平移扫描到时间轴的最右端（ 远处），期间必然平滑扫过 。因此平移量t就决定了计算松弛系统在t时刻的输出响应，而在系统中任意时刻t的输出就是中间信号 波形下的面积。,2-8-4 卷积积分计算,一般而言，中间信号 的计算取决于t从 变化到 的取值。但若根据信号的特征将t的时间区间划分为不同的区间，比如画出信号 和的波形就有助于划
11、分t的区间，则只需要对各区间应用相应的 计算卷积积分式（2-8-15）。具体计算过程如下：,（1）换元：进行变量代换，将 中的t换成 ，得到 ； （2）反转（反折）：对 做关于 的反转，得到反折信号 ；,2-8-4 卷积积分计算,（3）平移：对 平移 得到 。平移规则是，如果 ，将 右移 个单位，得到 ；如果 ，将 左移 个单位，得到 ； （4）相乘：求信号 与 的乘积 ，得到中间信号 ； （5）求积分：松弛系统的响应（输出） 是中间信号 对所有 从 到 的积分。,需要注意，t从 变化到 的过程相当于 从左向右扫过 ，计算 的积分相当于求 曲线下面的面积。,2-8-4 卷积积分计算,计算卷积积
12、分的过程还可以用图2-8-1所示框图说明。,图2-8-1 卷积积分计算过程,卷积积分计算的图形方法有助于更好地理解计算卷积积分计算的5个步骤，下面举例说明。,2-8-4 卷积积分计算,例2-8-1 考虑图2-8-2所示的积分器，它的输出-输入关系（端口特性）为,图2-8-2 积分器系统,可以看到，若系统输入 ，则系统的输出就是单位冲激响应 ：,2-8-4 卷积积分计算,现设系统的输入信号为单位斜坡函数 ，则利用卷积积分可以求其作用于系统的响应 ，即,计算这个积分时，把看作常量，又因为单位阶跃函数 当 时 ，所以上式的积分下限可以从零开始，即,另外，由于 已知为,故卷积积分的上限就为 ，因此有,
13、2-8-4 卷积积分计算,若直接利用积分器的输入-输出关系，也容易得出：,例2-8-1说明了如何利用卷积积分求取LTI系统对给定输入的响应。当然该例还说明，卷积积分通常不是求系统响应最有效的方法。然而，卷积积分概念常用于LTI系统性质的研究或者有关LTI系统应用的研究。实际上，还可以利用系统仿真的方法求取系统的时域响应。,2-8-4 卷积积分计算,例2-8-2 本例用图解法（或几何方法）继续求积分器的响应问题。卷积计算的图解法可以把一些抽象的关系图形化，便于理解卷积积分的概念和性质。由例2-8-1可知积分器的单位冲激响应是单位阶跃函数，即 。而系统的响应为单位冲激响应与输入信号的卷积：,注意，式中的积分变量为，而则看作参量。另外，冲激响应可看成是将反折得到，再时移t之后的结果，如图2-8-3所示。,图2-8-3 卷积运算中 的反折和时移运算,2-8-4 卷积积分计算,2-8-4 卷积积分计算,图2-8-4c)绘出了当 时， 的图形，由于 已经位于 的区域，故两个函数的乘积为零， 。,图2-8-4 卷积运
