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1、本科毕业论文（设计）题 目：浅淡中学数学中最值的求解学 生：姚雪飞学号： 201140510448学 院：数学与统计学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 2011年 09 月 15日指导教师：汪会玲职称： 讲师 完成日期： 2015年 03月20日诚 信 承 诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文浅淡中学数学中最值的求解均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。承诺人（签名）： 年 月 日浅淡中学数学中最值的求解摘要: 最值问题在中学数学中的涉及较广，应用范围较大，难度有难有易，利用最值的求解方法能够更简洁清晰地解决一些问题，但也会有一定
2、的难度。本文介绍了12种求解的方法,其中二次函数法和判别式法是中学范围内最常用的求最值问题的方法，将它们拓展开来的不等式法、代换法还有几何法也是在考试中较常见的考察知识点，另外更深层次的导数法、复数法，等等，是讲高中内容与大学内容接轨,希望这些内容能在中学数学范围内对关于求解最值的问题有一些小的帮助.关键词: 最大值；最小值;极值；解法；定义域The most value of solving shallow light middle school mathematicsAbstract: the most value problems widely involved in the middl
3、e school mathematics application scope is larger, the difficulty trouble easily, using the value solution method can resolve some problems more concise and clear, but also has the certain difficulty. 12 kinds of solving methods were introduced in this paper, the quadratic function method and discrim
4、inant method is a high school within the scope of the most commonly used to get the most value problem, they are broadening the inequality (lmi) method, substitution method and geometry method is also more common in the examination of knowledge points, the other at a deeper level of derivative metho
5、d, the complex method, and so on, is about high school content and content of the university community, hope these content can within the scope of the middle school mathematics about solving the most value problem with a little help.Key words: The maximum; The minimum value; The extreme; Solutions；d
6、omain目 录1 引言12 最值定义的基本知识13 中学数学中常见的最值问题及解决方法13.1 二次函数求解法13.2 导数求解法23.3 判别式求解法23.4 不等式求解法23.4.1 均值不等式求解法23.4.2 柯西不等式求解法33.5 几何求解法33.5.1 可视为距离的函数的最值求解43.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解43.6 代换求解法53.6.1 局部换元求解法53.6.2 三角代换求解法53.6.3 均值换元求解法63.7 构造方差求解法63.8 复数求解法63.9 数形结合求解法73.10 单调性求解法73.11 数列中的最值问题求解83.12 三角函数的最值问题求
7、解84 最值问题求解方法小结9参考文献10致谢101 引言数学中的最值问题是一种非常典型的问题，无论是在学习或是日常生活中都是很常见的，在中学数学中尤其重要，占领着非常重要的地位。最值问题几乎在所有的数学领域中都有涉及，所有就要求我们遇到最值问题要熟练的求解，这样就需要学生熟练掌握相关的知识，综合运用各种技能求解最值问题，本篇文章就最值问题求解方法做出了一些探究。2最值定义的基本知识一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最
8、小值。最大值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。3. 中学数学中常见的最值问题及解决方法中学数学中有许多相关的最值问题，需要我们准确判断并给与解答，以下是我结合数学学习或实际生活中的问题，从十二个方面说明最值问题的相关计算及解决方法3.1 二次函数求解法遇到二次函数求解最值，我们需要做的第一步是观察，看看是否需要配方，如需要配方，我们先配方，然后再看看对称轴，开口方向以及顶点坐标，最后判断出它是否有最值。这种方法对于形如y=ax2+bx+c或者可以转化为二次函数
9、的都比较有用，求解时主要有以下两种情况： 1当y=ax2+bx+c的定义域是R时，先配方，得到y=ax+b2a2+4ac-b24a当a0时 开口朝上,有最小值,即x=-b2a ，y=4ac-b24a当a0，又因为2x+1-2x=1， 所以2x+161-2x=42x+161-2x2x+1-2x=20+21-2xx+32x1-2x20+ 221-2xx32x1-2x=36 当且仅当21-2xx=32x1-2x，即x=16或者x=-12 舍去时，等号成立故2x+161-2x的最小值为36。3.4.2 柯西不等式求解法近年来柯西不等式现在的应用越来越广泛，对于求解最值越来越重要，需要我们重点的去掌握这
10、种方法。设有两组数a1，a2，a3an和b1，b2，b3bn，根据柯西不等式 a1b1+a2b2+a3b3+anbna12+a22+a32+an2b12+b22+b32+bn2当且仅当a1b1=a2b2=a3b3=anbn 时，等号成立。例5已知x2+y2=1 ，y2+z2=2，z2+x2=2，求xy+yz+zx的最大值。解：因为x2+y2+y2+z2+z2+x2=5，所以x2+y2+z2=52 则x2+y2+z2*y2+z2+x2xy+yz+zx2 即xy+yz+zx52，所以xy+yz+zx的最大值为523.5 几何求解法在求解某些函数的最值时，有些问题的目标函数几何形象比较明显，我们就可
11、以运用它的图象直观性来简便求解。常用到的几何知识有斜率公式、截距、点到直线的距离求法，以及结合图象的一些含义来求解最值问题用几何法求最值时要充分运用数形结合这个知识点。通过应用几何知识来研究函数的最值问题,会使灵活多变、复杂难解的函数最值问题简单化、直观化、浅显化,让我们能够轻松简便的求解函数最值问题,从而激发学生的兴趣,提高学生的综合能力以及训练学生的发散思维能力.3.5.1 可视为距离的函数的求解例6 函数的最大值是_。解：将函数式变形,得可知函数的几何意义是：抛物线上的点分别到点和点的距离之差，现在要求计算它们的最大值.因为知，当在的延长线上处时，取得最大值所以3.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解例7 求函数的最大值。解: 令,则,且.则问题转化为:当点在圆上时,双曲线族 (设为常数)在轴上计算的最大值.当时,由方程得 , 由此可知:当时, ;当时,
