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1、拉普拉斯变换及反变换,一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义,如果有一个以时间,为自变量的实变函数,，它的定义域是,，那么,的拉普,拉斯变换定义为,式中，s是复变数，,（ 、,均为实数），,称为拉普拉斯积分；,是函数,的拉氏变化，它是一个复变函数，,通常称,为,的象函数，而称,为,的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。,拉氏变换是这样一种变换，即在一定的条件下，它能把一实数域中的实变函数,变换为一个在复数域内与之等价的,复变函数 。,1）、 典型函数的拉氏变换,（k =const）,单位阶跃函数，记作1( t ),（1）阶跃函数（位置函数）,（2）斜坡函数（又称速度函数）,（k =const
2、）,单位斜坡函数,（3）抛物函数（又称加速度函数）,（k =const）,单位抛物函数,（4）单位脉冲函数,重要性质,（5）指数函数,指数增长函数,指数衰减函数,指数增长函数,指数衰减函数,（6）正弦函数,（7）余弦函数,2、拉氏变换的运算法则,（1）线性定理,（2）延迟定理,（3）位移定理,（4）相似定理,（5）微分定理,微分定理推论,特别在零初始条件下,（6）积分定理,当初始条件为零时，则,（7）初值定理,（8）终值定理,（10）象函数的积分性质,（9）象函数的微分性质,的拉氏变换,的拉氏变换,（11）卷积定理,二、 拉氏反变换及其计算方法,式中,表示拉普拉斯反变换的符号,1、拉氏反变换,
3、由象函数求原函数的方法：,方法二：查拉氏变换表求解,方法三：部分分式法,不常用解,对简单的象函数适用,象函数为有理分式函数时适用,2、拉氏反变换的计算方法,应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤 ：,（1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。,1）当解出 为单根时，对 F(s) 作因式分解：,其中,例,解：,（1）F（s）的极点,（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开成部分分式,（3）进行拉氏反变换,2）当解出s有重根时，对F(s)
4、作因式分解：,其中 ,例,解：,3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因式分解：,例,解：,两边同乘以,得,乘共轭 (-1-j2),其中,用MATLAB展开部分分式, p=1 -12 0 25 126 p = 1 -12 0 25 126,设：,在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。,如要输入多项式：x4-12x3+25x+126,用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 an,MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：,r, p, k = residue(num, den
5、),其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。,若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：,若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：,展开式为：,展开式为：,应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,解：对微分方程左边进行拉氏变换：,即：,对方程右边进行拉氏变换：,从而：,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。,由上述实例可见：,系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应,所以：,查拉氏变换表得：,当初始条件为零时：,零状态响应,零输入响应,
