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1、应用数学,主编:河南机电学校基础部,第三章 函 数,第一节 函数的概念,初中我们学过对应，例如： 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对和它对应； 对于任何一个三角形，都有唯一的一个确定的面积和它对应. 这一节我们将学习映射与函数.,看下面的例子： 在图3-1中，设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集.,图 3-1,第一节 函数的概念,说明：(2)(3)这两个对应的共同特点是,对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应. 设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的
2、任何一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射.记作f:A B.元素a叫做元素b的原象，元素b叫做元素a的象.,第一节 函数的概念,可以看出：(2)(3)这两个对应都是集合A到集合B的映射；(1)不是集合A到集合B的映射. 映射的三要素：集合A、集合B、对应法则f，缺一不可；集合A中的元素一定有象，且唯一；集合B中的元素不一定有原象，即使有也未必唯一；集合A、集合B可以是数集，也可以是点集或其他集合.,第一节 函数的概念,映射概念是函数概念的推广. 函数传统定义 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么
3、就说x是自变量，y是x的函数，自变量x取值的集合叫做定义域，自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值y的集合叫做函数的值域.,第一节 函数的概念,近代定义 (从映射的观点定义函数)如果A,B都是非空的数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB，原象的集合叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合M( )叫做函数y=f(x)的值域. 函数有三要素：定义域，值域，对应法则.,第一节 函数的概念,函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，可简记为函数f(x)，有时也记为g(x)，F(x). f(a)的意义：自变量x取确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)表示.
4、两个函数相同：当且仅当两个函数的三要素完全相同时,这两个函数相同.,第一节 函数的概念,前面我们学习了函数的概念、表示方法，现在我们来研究一下函数的性质. 单调递增函数 设函数f(x)的定义域为D,如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数，如图3-2所示.,第二节 函数的单调性,第二节 函数的单调性,图 3-2,第二节 函数的单调性,图 3-3,单调递减函数 如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数，如图3-3
5、所示.,第二节 函数的单调性,单调性如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间. 在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的. 要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.,第二节 函数的单调性,第三节 函数的奇偶性,图 3-4,函数f(x)=2x的图像(图3-4)关于原点对称，f(-x)=-f(x)；由此，我们引出奇函数的定义. 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那
6、么函数f(x)就叫做奇函数. 根据上面的定义，函数f(x)=2x是奇函数.,第三节 函数的奇偶性,图 3-5,函数f(x)=x2的图像(图3-5)关于y轴对称， f(-x)=f(x)；由此，我们引出偶函数的定义. 偶函数 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 根据上面的定义,函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数.,第三节 函数的奇偶性,奇偶性的定义 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： (1)其定义域关于原点对称； (2)f(
7、-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)必有一项成立. 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域不关于原点对称，则函数没有奇偶性.,(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数. (4)函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)=f(-x)也满足f(x)=-f(-x). (5)奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数.偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.,第三节 函数的奇偶性,第
8、三节 函数的奇偶性,第三节 函数的奇偶性,第三节 函数的奇偶性,第四节 反 函 数,在物理上，我们学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即s=vt与t=s/v(其中速度v是常量),在s=vt中，位移s是时间t的函数.在t=s/v中，时间t是位移s的函数. 在这种情况下，我们说函数t=s/v是函数s=vt的反函数.,在函数y=2x(xR)中，x是自变量，y是x的函数.从函数y=2x中解出x，就可以得到式子x=1/2y(yR).这样，对于y在R中的任何一个值，通过式子x=1/2y，x都有唯一的值和它对应.这就说明可以把y作为自变量，x作为y的函数. 这时，我们就说x=1/2y(yR)是函数y=2x(
9、xR)的反函数.由此，我们可给出反函数的定义.,第四节 反 函 数,设有函数y=f(x),其定义域D,值域为M.如果对于M中的每一个y值(yM),都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(xD)与之对应,这样就确定了一个以y为自变量的新函数,即为x=f-1(y),这个函数就叫做y=f(x)的反函数,它的定义域为M,值域为D.,第四节 反 函 数,函数y=f(x)的反函数x=f-1(y)中是以y表示自变量的,为了符合习惯，我们常常对换函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成 y=f-1(x),xM 符号f-1的含义有二个：一是表明原函数的反函数；二是表明反函数的对应法则.,第四节 反 函
10、数,对于任意一个函数y=f(x)，它的反函数不一定存在.例如，在函数y=x2(xR)中，因为对于y(y0)都有两个值 与它对应，所以不能构成yx的映射，更不能构成函数.我们就说在函数y=x2(xR)没有反函数.,第四节 反 函 数,反函数与函数的关系: (1)反函数与函数是相对的.如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，即y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数. (2)函数y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义域.,第四节 反 函 数,求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是： (1)由y=f(x)解出x=f-1(y)，写出y的取值范围； (2)互换x,y，得y=f-1(x)； (3)写出完整结论(一定要有反函数的定义域).,第四节 反 函 数,第四节 反 函 数,图 3-6,图 3-6,第四节 反 函 数,第四节 反 函 数,第四节 反 函 数,第四节 反 函 数,
