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1、控制工程基础 主讲 曾 励,7 采样控制系统分析基础,2,第7章 采样控制系统分析基础,7.1 概述 7.2 信号的采集与复原 7.3 Z变换 7.4 线型离散系统的差分方程 7.5 脉冲传递函数 7.6 采样控制系统的性能分析,7 采样控制系统分析基础,3,7.1 概述,离散信号:信号在系统中以时间上离散的信号形式存在，并且信号数值上也不是连续的脉冲序列。 采样控制系统:控制系统中的一处或多处的信号不是连续的模拟信号，这样使用离散信号的控制系统。采样信号:系统中的离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的。 计算机采样控制系统的结构如图7.1所示。,7 采样控制系统分析
2、基础,4,图7.1 计算机采样控制系统,7 采样控制系统分析基础,5,在计算机采样控制系统中，因为在计算机内参与运算的信号是二进制数码，所以要利用计算机来实现系统的控制目标，首先要在控制系统中通过模数转换器(AD)，把控制目标的连续信号转换成数字信号，送给计算机构成的数字控制器，经过数字控制器的数字计算，给出的控制信号也是数字量，然后再通过数模转换器(DA)，使数字量恢复成连续的控制作用，再去控制被控对象。在分析采样控制系统时，把AD和DA的工作过程理想化，即认为AD转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号；而DA转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成连续信
3、号。,7 采样控制系统分析基础,6,图7.2 采样控制系统结构图,由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的特殊性，必须对其进行单独讨论。,7 采样控制系统分析基础,7,7.2 信号的采样与复原,在采样控制系统中信号的转换是采样控制系统区别于传统连续控制系统的重点，也是影响采样控制系统正确工作的关键。因此了解采样控制系统中信号转换的过程，对于理解采样控制系统的特点和本质具有重要的意义。下面将从信号的采样和恢复两个方面讨论采样控制系统的信号处理过程及其数学本质。,7 采样控制系统分
4、析基础,8,7.2 .1信号的采样,采样过程，就是按照一定的时间间隔对系统中的连续信号进行采样，将连续信号变换为时间上离散的脉冲序列的过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关，它可以用一个按一定周期（即采样周期）进行闭合操作的开关来表示。采样开关的采样周期为T，采样开关的采样周期为T，每次闭合时间为，如图7.3所示。通常远小于采样周期T和系统中连续部分的时间常数，可以近似的认为0。,。,1.采样过程,7 采样控制系统分析基础,9,图7.3 模拟信号的采样,7 采样控制系统分析基础,10,因此，采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器
5、，它能够产生单位脉冲序列 ，如图7.4所示。单位脉冲序列 的数学表达式为,k =0，1，2为整数 (7.1),式中T为采样周期。,根据图7.4， 的数学表达形式可写成：,(7.2),7 采样控制系统分析基础,11,图7.4 单位脉冲序列和采样信号的调制,7 采样控制系统分析基础,12,综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。,可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。 实际系统中 t0时，通常 ，所以上式可改写为,(7.3),7 采样控制系统分析基础,13,式中,
6、 傅里叶系数；,2.采样定理,(1)采样信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系,因为理想单位脉冲序列 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅里叶级数，其复数形式为,代入,有,(7.4),(7.5),为采样角频率。,7 采样控制系统分析基础,14,上式反映了采样函数的拉氏变换式 和连续函数拉氏变换式 之间的关系，这表明 是s的周期性函数。,故 的拉氏变换为,(7.6),7 采样控制系统分析基础,15,上式反映了采样后的离散信号频谱与连续信号频谱之间的关系。通常，连续函数e(t)的频带宽度有限，其最大截止频率为max， 为一孤立的频谱，如图7.5a所示。,用 代入上式，得到采样信号的傅里叶变换：,(
7、2)采样定理,(7.7),由图7.5可见，相邻两部分频谱互不重叠的条件是 s2max (7.8),7 采样控制系统分析基础,16,(a)连续信号,(b)采样信号,7 采样控制系统分析基础,17,采样之后，离散序列 的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值 为的1/T，周期为s，k=0时为主频谱。根据采样频率s的大小， 可能有两种情况，如图7.5b所示：一种是s2max，采样信号的频谱不会发生重迭；另一种是s2max，在此情况下，采样信号的频谱发生重迭。,香农采样定理的物理意义即是对最高频率的正弦信号，在一个周期内至少应采样两次(正负值各采样一次)。香农采样定理是选择采样周期的一个重要依据。,7
8、采样控制系统分析基础,18,为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，这样就可以采用一个低通滤波器滤掉所有的高频分量，只保留主频谱，这个低通滤波器就是下面要介绍的将离散信号恢复成连续信号的零阶保持器。,7 采样控制系统分析基础,19,7.2 .2信号的复原,根据采样定理，在s2max的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器在实际上难以实现，因此，必须寻找在特性上比较接近理想滤波器，而实际上又可以实现的滤波器，在
9、采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的 DA转换器就是零阶保持器。,7 采样控制系统分析基础,20,1.零阶保持器概念,零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值e(kT)恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间tkT，(k+1)T区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。其输入信号和输出信号的关系如图7.6所示。可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，它包含着高次谐波，与要恢复的连续信号是有一些区别的。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来
10、，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。,7 采样控制系统分析基础,21,图7.6 连续信号与采样信号,7 采样控制系统分析基础,22,2.零阶保持器的传递函数,当零阶保持器的输入为单位脉冲时，其输出是一个高度为1，宽度为T的矩形波，即响应零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)。它可以分解为两个单位阶跃函数的叠加（如图7.7所示）：gh(T)=1(t)-1(t-T)，从而零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为,图7.7 零阶保持器单位脉冲响应的,(7.9),此即是零阶保持器的传递函数。,7 采样控制系统分析基础,23,令式(7.9)中 ，可求得零阶保持器的频率特性
11、为,3.零阶保持器的频率特性,(7.10),(7.12),(7.11),幅频特性和相频特性分别为,零阶保持器的幅频特性，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，主频谱与连续信号相似，但还存在一些高频分量。因此，其转换后的连续信号与原来的信号是有些差别的。此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。T越小，采样系统越接近于连续系统，但计算机负担加重，对计算机运算速度等要求越高。,7 采样控制系统分析基础,24,7.3 z变换,在传统连续系统的控制器设计与分析中，我们一般应用微分方程、系统的传递函数和频率特性等方法和工具进行研究，其中最重要的工具就是拉氏变换。一
12、个连续信号f(t)的拉氏变换是复变量s的有理分式函数，微分方程通过拉氏变换后也可以转换为s的代数方程，从而大大简化微分方程的求解，方便得到系统的频率特性。因此氏变换是连续系统研究的基本工具。而在采样控制系统中存在着脉冲或数字的离散信号以及离散信号与连续信号的变换过程，因此，如果仍沿用拉氏变换得到的传递函数来分析系统，那么拉氏变换就会在运算中给我们带来复变量的超越函数，使得计算与分析难以顺利进行。为了避免这种情况出现，我们需要用一种新的工具z变换替代拉氏变换，用差分方程或z传递函数来描述采样控制系统的数学模型。本节将具体介绍z变换及z反变换。,7 采样控制系统分析基础,25,7.3 .1 z变换
13、的定义,对于连续函数 ，它的拉氏变换为：,由于x(t)的采样信号为 ，对x(t)采样信号 的拉氏变换则为：,(7.13),(7.14),式(7.14)中的 是s的超越函数，不便于直接进行运算。因 此，我们引入一个新的复变量 ，将它代人式(7.14)得,7 采样控制系统分析基础,26,(7.15),定义式(7.15)为采样函数 的z变换，记为 。,由上述z变换的定义可见，z变换实际是拉氏变换的一种变 形。严格地讲，z变换只适用于使用离散信号的情况，即z 变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映 采样时刻之间的特性。但人们往往根据习惯称 是 的 z变换，这实质上是 指经过采样之后得到的
14、的z变换。,因为z变换是对采样时刻而言的，所以 的z变换就是 的z变换。通常把采样周期T当作一个单位，并将 简记为 ，这样，采样序列的z变换即定义为,7 采样控制系统分析基础,27,(7.16),因而,这是复变量 的幂级数，只有当其收敛时，才能求得其 简短的封闭形式。,例7.1 求单位跃阶函数的z变换。 说明：如果能够知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值 x(kT)，可以按照定义求x(t)的z变换。 解： 单位跃阶函数在各个采样时刻的值均为1，因此,7 采样控制系统分析基础,28,当 ，即 时，级数收敛。,例7.2 求函数e-at的z变换。,解：,7 采样控制系统分析基础,29,例7.3
15、已知连续函数x(t)的拉氏变换为 ， 求函数的z变换。,解：如果连续函数x(t)的拉氏变换X(s)为s的有理函数， 并且X(s)的分母多项式能够分解因式时，可以将X(s)展 开成部分分式，即,(7.17),其中，pi是X(s)的极点，ai为极点pi的留数，而 所对 应的时间函数为 ，由例7.2可知其z变换为 ，因此 ，相应于x(t)的z变换为,(7.18),7 采样控制系统分析基础,30,解:因为 ，又拉氏反变换得,所以,教材中表7.1中列出了一些常见函数及其相应的拉氏变 换和z变换。利用此表可以根据给定的函数或其拉氏变换 式直接查出其对应的z变换。,7 采样控制系统分析基础,31,7.3 .2 z变换的性质,与拉氏变换相类似，z变换也有一些基本定理，根据 这些定理，加上熟悉表7.1列出的一些简单函数的z变 换，则可以方便地求出一些复杂函数的z变换。,1线性定理,设函数 ，则,(7.19),即各函数线性组合的z变换，等于各函数z变换的线性组合 。这由定理很容易证明，这里就不给出详细证明过程。,7 采样控制系统分析基础,32,2.滞后定理,设在 时连续函数 ，其z变换为 ，则,
