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1、电工与电子技术 第三章 电路的暂态分析,沈阳大学 信息工程学院 电子信息工程系,所谓暂态是指电路从一种状态转变成另一种状态的中间状态。 有人可能要问：电灯亮是一种状态，电灯不亮是另一种状态；电动机转是一种状态，电动机不转是另一种状态；我们并没有感受到中间状态的存在及工作的影响，学习暂态意义何在。 感受不到的事件不等于它不存在或没有影响。众所周知，火车运行过程中，紧急制动时火车不可能立即停下来，而是经一段时间才能停下来，说明“火车具有惯性”。即惯性系统存在中间状态（暂态）。,同理，惯性电路也存在暂态。也就是说，电路元件性质不同，组成的电路的性质也就不同。电路中，消耗电能的电路元件（如电阻）称非储
2、能元件；不消耗电能的电路元件（如电容和电感）称储能元件。 我们将含储能元件的电路称惯性电路，即含储能元件的电路存在暂态。而不含储能元件的电路不具有暂态。,火车制动时需要多长时间才能停下来，这是人们最关心的问题。人们同样关心电路从一种状态到另一种状态的过程中，以什么样的方式和需要多长时间。这一点十分重要，对有些电路直接涉及电网、电路的稳定和安全问题。 本章将详尽介绍电路常用元件及元件的性质，暂态电路的概念，暂态电路的分析思路和方法，以及一阶电路的三要素法等内容。,3.1 电阻元件、电感元件及电容元件,3.1.1 电阻元件 电阻是大家最熟悉和常用的电路元件。根据欧姆定律它表示一段电路上对电流的阻碍
3、作用。再度提出电阻，主要讨论元件的性质。如图3-1-1所示。电阻可表示为= 或=,图3-1-1 电阻元件,将式（3-1-1）用电流乘，则得= 2 若从能量角度，则有 = （3-1-2） 式（3-1-2）表明，电阻可以把电源的能量转变成热量，称消耗能量的元件，简称耗能元件。,3.1.2 电感元件 电感是电路另一常用的电路元件。如图3-1-2所示。,图3-1-2 电感元件,人们知道，交流电路中的线圈中存在电感。电路加入交流电源后，则对应的交流电流将流入线圈，线圈中将产生与交流电流相应变化的磁通。根据电磁感应定律，产生感应电动势，即 = 。线圈的匝数为，则 = () ，表明电动势的大小与磁通的变化率
4、和线圈的匝数成正比。 设=，则有 = () ,定义：单位电流作用下线圈产生磁链的能力。即 = （3-1-3）称线圈中的电感，又叫自感系数。电感的单位是：亨（），毫亨（）。,根据楞次定律和电感的定义则= = ，根据图3-1-2所示，得= （3-1-4） 式（3-1-4）表示的是电路中电压与电流的基本关系。电路中所标电量的方向称关联参考方向，一旦给定电压的极性，则电流和电动势的方向和极性不具有任意性。,为了讨论元件的性质，将式（3-1-4）两端乘以电流i，得= （3-1-5），若表示电路中的能量则，则=，一段时间内能量的变化为 = = （3-1-6） 由式（3-1-6）可见，电源提供的能量并没有转
5、化成热量，而是以磁能的形式存在线圈之中。电感不消耗电源的能量，称储能元件。也正是由于电感储能的特点，才使愣次定律得以解释。,3.1.3 电容元件 电路中的第3个基本元件是电容，如图3-1-3所示。,图3-1-3 电容元件,电容可理解为电容器的容量，简称电容。并可作如下定义= 。 即，单位电压作用下电容器存储电荷的能力。,电容的单位是：法（），微法（），皮法（）。1= 10 6 ；1= 10 12 根据电流的定义：= ，而由式（3-1-7）得=，则有 = () = （3-1-8） = （3-1-9） = = （3-1-10）,式（3-1-7）表明了电容电路中电压和电流的基本运算关系。若等式两端乘
6、以电压，表明其中的功率关系，再乘以时间则表明了功率转换的特点。 电容器可以以存储电荷的方式将电源的能量以电场的形式存到了极板之上。 电容器也不消耗电源的能量。这一点与电感相同，称电路的储能元件。 以上介绍的3个元件是电路的基本元件。 电阻是消耗能量的元件，称耗能元件；电感和电容则是存储能量的元件，称储能元件。,3.2 换路定律,电路从一种状态转变为另一种状态，称换路。换路时，由于能量具有不能跃变的原则，因此有换路定律。否则功率将为无限大。如图3-2-1所示为电路换路过程的规律。,图3-2-1 各元件的换路状态,若=0时换路，即开关闭合，由图3-2-1（a）所示，得= 为了准确表示换路过程中的规
7、律，把开关尚未闭合的最后时刻用 表示；开关闭合的起始时刻用 表示。对应图3-2-1（a）所示电路表示为 0 =0， + =（3-2-1） 因为能量不能跃变，由图3-2-1（b）所示，得 =， + =（3-2-2）,由图3-2-1（c）所示，得 =， + =（3-2-3） 我们把换路后初始瞬间的值，即=0时的值，用( 0 + )表示，电路中各电量的值称初始值。,以上各式表明，由于元件的性质不同，则换路瞬时各自的规律也不相同。区别主要是储能和非储能元件之间。我们把储能元件换路时的规律称换路定律。即 + = （3-2-4） + = （3-2-5） 即将式（3-2-4）和式（3-2-5）称为换路定律。
8、利用换路定律可对储能元件的初始值加以计算；对非储能元件初始值的计算需画出 = 时的等效电路。这样就可完成换路时各初始值的计算。,【例3-1】 电路如图3-2-2所示，已知=10， 1 =4， 2 =6 ，在=0时将开关打开。求： ( 0 + )、 ( 0 + )、 ( 0 + )、 ( 0 + )和 2 ( 0 + )。换路前各元件均未储能。,图3-2-2 例3-1图,【解】 （1）有换路定律的用换路定律计算。即 0 + = 0 = 2 1 + 2 = 610 4+6 =6 0 + = 0 = 1 + 2 = 10 4+6 =1 （2）画出=0时等效电路。如图3-2-2（b）所示。求出其他初始
9、值 0 + = 0 =1 2 0 + = 2 0 + =61=6 0 + = 2 0 + + 0 + =6+6=0,【例3-2】 电路如图3-2-3（a）所示，已知=100， 0 =20， 2 =50，=10。当=0时将开关闭合，设开关闭合前电路处于稳态。求：开关闭合瞬时各支路电流和各元件电压的初始值。,图3-2-3 例3-2图,【解】（1）根据换路定律求出 0 + 0 + = ( 0 )，开关闭合前 0 =100，所以 0 + =100 （2）画出=0时的等效电路，如图3-2-3（b）所示，并根据图3-2-3（b）可作如下计算 1 0 + = ( 0 + ) 1 = 100100 20 =0
10、 2 0 + = 2 ( 0 + ) 2 = ( 0 + ) 2 = 100 50 =2, 0 + = 1 0 + 2 0 + =02=2 1 0 + = 1 1 0 + =0 2 0 + = 2 2 0 + =502=100 以上例题表明如何求电路换路时的初始值，即=( 0 + )时的值：有换路定律的用换路定律计算；没有换路定律的根据=( 0 + )时等效电路，按电路的分析方法计算。,初始值（=0）是换路的起始时刻，0则是换路过程（暂态）的开始。下面要讨论的就是暂态从开始到结束所需时间和规律。我们知道含储能元件的电路称惯性电路，而惯性电路具有暂态。 在稳态电路的分析过程中，我们习惯使用“输出
11、、输入”这一常用词汇，而在暂态电路的分析过程中，则使用“激励与响应”这种新的习惯用语。,3.3 电路的响应,3.3.1 RC电路的零输入响应 所谓零输入是指电路换路后将脱离电源，如图3-3-1所示。我们要讨论的是换路开始到新稳态电路实现的中间过程。,图3-3-1 零输入响应电路,从电路的具体情况上看，是电路的放电过程。 放电过程的结束意味者暂态过程的结束。而暂态的讨论要给出放电的规律和结束放电所需时间。 暂态过程分析的方法如下。 （1）列出换路后电路对应的电压方程（电路结构不同也可列电流方程） + =0 其中： =，= ,（2）将电压方程演变成微分方程 + =（3-3-1） （3）解微分方程，
12、得 = （3-3-2） 其中，= 1 为特征方程的根 于是有 = （3-3-3） 关于积分常数 的求法，根据初始条件，在=0时， 0 =。则 = （3-3-4）,令=（3-3-5）称时间常数。 则 = （3-3-6） 以上分析得出该电路的暂态为：按指数规律衰减的时间函数。 其衰减的速率取决于时间常数的大小，如图3-3-2所示。,图3-3-2 零输入响应过程,理论上讲，当时， =0。显然这一过程未免太长，因此规定：当t=(35) 认为暂态过程结束。其具体数值也可参照表3-3-1所示。,表3-3-1 随时间变化的数值,电路中其他各参数为 = = （3-3-7） = （3-3-8） 用以上方法求电路的暂态过程，通常称为暂态过程分析的经典法。,【例3-3】 电路如图3-3-3（a）所示，=24， 4 =2， 1 =2， 2 =4， 3 =2 ，=2。=0时换路，换路前电路处于稳态。求：0时的 ()和 ()。,图3-3-3 例3-3图,【解】（1）开关闭合后等效电路如图3-3-3（b）所示。化简后得图3-3-3（c），然后列出对应的电压方程 + =0， = ， = 将电压方程演变成微分
