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1、控制工程基础 主讲 曾 励,2控制系统的数学模型,2,2.0拉氏变换与反变换 2.1控制系统的微分方程时域模型 2.2控制系统的传递函数复(频)域数学模型 2.3控制系统的函数方框图模型 2.4典型环节的数学模型分析,2 控制系统的数学模型,2控制系统的数学模型,3,数学模型的几种表示方式,系统的输入与输出 均为时间的函数 xo(t)=f(xi,t),系统的输入和输出均是 复变量的函数 Xo(s)=G(s)Xi(s),2控制系统的数学模型,4,描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模 物理模型 任何元件或系统实际上
2、都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。,2控制系统的数学模型,5,建立控制系统数学模型的方法有 ：,分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。,2控制系统的数学模型,6,2.0.1 拉氏变换 （1）拉氏变换的定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作,2.0 拉普拉斯变换与反变换,7,几种典型函数的拉氏变换,单位阶跃函数1(t),上式表明：
3、拉氏变换在一定条件下，能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。,8,指数函数,（a为常数）,9,正弦函数与余弦函数,由欧拉公式，有：,10,从而：,同理：,11,单位脉冲函数(t),由洛必达法则：,所以：,12,单位速度函数（斜坡函数）,13,单位加速度函数,函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。,2控制系统的数学模型,14,拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,2控制系统的数学模型,15,初值定理 微分定理,2控制系统的数学模型,16,对于零初始条件 积分定理,常用拉氏变换表,2控制系统的数学模型,18,例：建立RC
4、L电路的输入输出关系,消去中间变量i（t），整理得,当L0时，可简化为,系统为二阶系统（二阶微分方程）。,建立系统的微分方程得,2控制系统的数学模型,19,在零初始条件下，对微分方程两边取拉氏变换得,例：建立RCL电路的输入输出关系,2控制系统的数学模型,20,2.0.2 拉氏反变换 拉普拉斯反变换的公式为 式中 表示拉普拉斯反变换的符号。 拉氏反变换的求法 F(s)化成下列因式分解形式： a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为,2控制系统的数学模型,21,b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为,c.F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,2控制系统的数学模型,
5、22,例：求RC电路在单位阶跃信号作用下的输出量。,在零初始条件下，系统输出与输入之间拉氏变换之比为,系统输出量的拉氏变换为,系统输入信号为单位阶跃信号时,2控制系统的数学模型,23,系统输出量的拉氏变换为,由留数定理求得,对输出拉氏变换求拉氏反变换得,2控制系统的数学模型,24,2.1 控制系统的微分方程,2.1.1线性系统与非线性系统 (1)线性系统 1.定义 线性系统：系统在稳态时，输出量与输入量及其各阶导数之间为线性组合关系。系统的数学模型可用线性微分方程描述： 其中，xo（t）、xi（t）分别为系统的输入量和输出量，ao、a1、a2为取决于系统结构的系数。 2. 线性系统的重要特性:
6、 1）可以运用叠加原理,2控制系统的数学模型,25,线性定常系统：动态系统是线性的，并且由定常集中参数元件组成的系统，即可以用线性常系数微分方程来描述； 线性时变系统：描述系统的微分方程的系数是时间的函数的系统。,2）系统对某输入信号的导数（或积分）的时域响应就等于该输入信号时域响应的导数（或积分，积分常数由零阶输出初始条件确定）。,(2)非线性系统 非线性系统：系统在稳态时，输出与输入及其各阶导数之间不是线性组合关系的系统。用非线性方程描述的系统。非线性微分方程如：,2控制系统的数学模型,26,非线性系统的最重要特性：不能应用叠加原理。 本质非线性性质：系统在工作点附近存在着不连 续直线、跳
7、跃、折线以及非单值关系等严重非线性 性质。 非本质非线性性质：其它不是像以上所说的严重非线性性质的情况。对于这种非线性性质，可以在工作点附近用切线法进行线性化。,非线性系统的形式： 1)饱和非线性 2)死区非线性 3)间隙非线性 4)库仑摩擦、继电器非线性,2控制系统的数学模型,27,1）饱和非线性,2）死区非线性,2控制系统的数学模型,28,3）间隙非线性,4）库仑摩擦、继电器非线性,2控制系统的数学模型,29,2.1.2 微分方程的建立 1.微分方程的标准形式 一个n阶系统用n阶微分方程表示其的数学模型：,式中， xi（t）为系统的输入量， xo（t）为系统的输出量，a1、a2、an、b1
8、、b2 、bm是取决于系统结构参数的系数 。 2.齐次微分方程 当输入量为零时微分方程变成齐次微分方程，即系统的自由运动方程。,2控制系统的数学模型,30,3.建立微分方程的步骤如下： 确定系统的输入量和输出量； 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的原始方程； 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式； 整理所得微分方程。,系统（齐次微分方程）的特征方程为,2控制系统的数学模型,31,1.典型系统的线性微分方程 机械系统,机械平移系统,机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：,质量,弹簧,阻尼,
9、2控制系统的数学模型,33,根据牛顿第二定理，有：,系统为二阶系统（二阶微分方程）。 注意：微分方程中反映系统结构的系数？微分方程的特征方程？,2控制系统的数学模型,34,对图2.6a所示的动力滑台系统进行质量、粘性阻尼及刚度折算后，可简化成图2.6b所示的质量阻尼弹簧系统。试求外力f(t)与质量块位移y(t)之间的运动微分方程。,图2.6 动力滑台及其力学模型,该系统输入量为外力f(t)，输出量为位移y(t)，若取等效质量m的自然平衡位置为y(t)的零点，应用牛顿第二定律，可列出系统原始运动方程为：,2控制系统的数学模型,35,式中，,c为等效阻尼系数；k为等效弹簧刚度。上式经整理可得：,2
10、控制系统的数学模型,36,机械旋转系统,系统也为二阶系统（二阶微分方程）。,如图所示，系统输入量为i，旋转体转角（输出量）为o 结构参数：K、J、B 根据牛顿第二定理得,电气系统,电阻,电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。,电容,电感,R-L-C无源电路网络,一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。,若L=0，则系统简化为：,有源电网络,即：,2控制系统的数学模型,41,具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x),2.系统非线性微分方程的线性化,2控制系统的数学模型,4
11、2,在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开,增量较小时略去其高次幂项，则有,令,则：y =kx k比例系数，函数在x0点切线的斜率,2控制系统的数学模型,43,两个变量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为,略去二级以上导数项，并令yy-f(x10，x20),例：液压伺服机构,解：1）明确系统输入与输出：输入为x,输出为y,2)列写原始微分方程：,3)非线性函数线性化：,4)代入方程，整理可得：,2控制系统的数学模型,46,2.1.3微分方程的求解,微分方程的一般求解过程较为繁琐。微分方程的解包含通解和特解两个部分。通解由非齐次微
12、分方程的齐次式求得，通解完全是由初始条件引起的，是一个瞬态过程，工程上称为自然响应；而特解只由输入决定，工程上称为强迫响应。如此计算复杂费时，而且难以直接用微分方程本身研究和判断系统的动态性能，因此，这种方法有很大的局限性。 在应用中，采用拉普拉氏变换来求解线性微分方程。它可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，并能够直接引入初始条件的影响，使我们求出的解就是全解。更重要的是，通过拉氏变换，我们可以把系统的微分方程转化为系统的传递函数，并由此发展出用传递函数来分析和设计系统的种种方法。,2控制系统的数学模型,47,将初始条件带入并整理得,求解方程,满足初始条件,的解。,解：对方程两端进行拉氏
13、变换，并将初始条件代入得,2控制系统的数学模型,48,对Y(s)取拉式反变换得： 即是所求微分方程的解。,将Y(s)展开成部分分式之和得,2控制系统的数学模型,49,2.2 控制系统的传递函数,2.2.1 传递函数的定义 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,零初使条件：系统的输入量和输出量及其各阶导数在t0时的值为零。,2控制系统的数学模型,50,传递函数的基本模型 线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：,在零初始条件下，对上式中各项分别求拉氏变换得s的代数方程为：,微分定理,2控制系统的数学模型,51,于是，由定义得系统传递函数
14、为：,1)传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。它表达了系统本身的特性； 2)若系统的输入给定，则系统的输出完全取决于传递函数。即,2.2.2传递函数的特点,系统在时域内的输出,2控制系统的数学模型,52,3)传递函数分母中s的阶数n必不小于分子中s的阶数m，即mn，因为系统总有惯性，使输出不会超前于输出。 4）传递函数的分母多项式对应于系统微分方程特征方程的多项式。即,对于线性定常系统，在稳态时输出与输入为线性关系，故传递函数起着从输入到输出的传递作用。,2控制系统的数学模型,53,特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。
15、 注意：特征方程的根就是传递函数（系统）的极点。 5）虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。 不同的物理系统具有完全相同的传递函数(即：相似系统）； 同一个物理系统可以有不同形式的传递函数。,2控制系统的数学模型,54,(2) 零极点增益模型,2.2.3 传递函数的形式,为传递函数的零点,为传递函数的极点,k=bm/an 为系统的增益系数,(1）基本模型,2控制系统的数学模型,55,(3) 传递函数的时间常数模型,为传递函数的时间常数；,K= b0/a0 为传递函数的传递系数。,上式给出的模型称为零极点增益模型。系统传递函数的零点、极点和增益决定着系统的瞬态性能和稳态
16、性能。,2控制系统的数学模型,56,解：微分方程为,由弹簧、质量和阻尼组成的机械系统如图所示。设系统的输入量为外力x(t)，输出量为质量的位移y(t)，试写 出系统的传递函数。,例,在初始条件为零时，对微分方程式两边取Laplace变换得,整理上式得系统的传递函数为,2控制系统的数学模型,57,例,2控制系统的数学模型,58,2控制系统的数学模型,59,2控制系统的数学模型,60,两个由质量弹簧串联而成的振动系统，如图2.3所示。输入为外力,例,，输出为,。试求它的传递函数。,解：此时，系统变成两自由度系统，其动力学方程为：,在初始条件为零的条件下，对式两边取Laplace变换得,2控制系统的数学模型,61,整理上式得系统的传递函数为,2控制系统的数学模型,62,试证明图 (a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。,例,2控制系统的数学模型,63,解：1)建立系统的微分方程式 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可
