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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-1 三角函数系,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,三角函数系定义,最小二乘拟合,内容安排,4-1-1 三角函数系,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,4-1-1 三角函数系,周期性是函数的重要特性。,三角函数系,三角函数系是基础建模函数。,在本书中，术语正弦曲线(sinusoid)是指正弦函数(sine)和余弦 函数(cosine)。,周期函数反映了客观世界中的周期运动。,正弦函数,四个参数：,：表示曲线相对于横轴的高度,：表示曲线波动的幅度,：描述函数的周期特征,：规定正弦曲线在水平方向的平移量,4-1-1 三角函数系
2、,根据三角恒等运算：,有：,一般线性最小二乘模型形式,4-1-1 三角函数系,式中：,推理得到：,同理可得：,4-1-1 三角函数系,线性最小二乘模型的一般形式为：,其中,是n+1个基函数，e 为模型与观测值之间,的误差，即残差。,若基函数选择为,则上式,若基函数选择为,即,则上式表示多项式模型,表示线性回归模型,4-1-1 三角函数系,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,上式为线性最小二乘模型的特例,其中：,显然，上式的残差平方和:,的取值应为最小。其中，N为数据点的总数。,（4-1-8）,（4-1-7）,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,为了确定式（4-1-8）中的系数,和,，分
3、别对式（4-1-8）,和,取偏微分，有：,中的每个系数,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,令这些偏微分为零，整理后得到式（4-1-7）的正规方程组,如下：,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,将该极小值问题，也即式（4-1-10）写成矩阵形式，注意到,，有：,（4-1-11）,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,（4-1-12）,为方便起见，设有N个间隔为,，且均匀分布的观测值，总的,，则可以证明下列平均值：,观测时间为,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,因此，对于均匀分布的点，正规方程简化为：,由此可解得：,（4-1-14）,（4-1-13）,4-1-2 用正弦函数进行最
4、小二乘拟合,或：,（4-1-14）,例4-1-1：设正弦曲线由函数,建模，其中,。表4-1-1给出该曲线在区间,内等间隔,。试用最小二乘法确定系数。,生成的10个观测值，间隔,4-1-2 用正弦函数进行最小二乘拟合,例4-1-1：,本节例题,解：根据式（4-1-15），可计算出,因此，最小二乘法给出的拟合模型为,另外，由式（4-1-4）和式（4-1-5）可求出,本节例题,故上式可改写成,上述分析可以推广到一般线性最小二乘模型中。如果选择基函数,，则任意函,可以表示为基函数的线性加权组合，即,数,本节例题,对于均匀分布数据，式中的系数由下列公式计算,综上所述，从回归（即,）意义上讲，上述方法显然可以用,）等于数据点个数（即N）,。特别要说明的是，连续时间傅立叶级数展开,于数据的拟合或建模；另外，若应用于插值或者配置（collocation）,算法中，则它适用于未知数个数（即,的情况，即,就采用了这种思想。,
