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1、第3篇 结构力学部分,本篇主要介绍结构的几何组成规律、以及结构内力和位移的计算方法。 为解决结构强度、刚度和稳定性问题，结构的内力和位移计算有多种方法。本篇阐述了用于计算静定结构位移的单位荷载法的实用性成果图乘法及其运用，并进而详述了超静定结构内力计算的几个基本方法力法、位移法和力矩分配法。这些方法的掌握，不仅有助于解决大量工程实际问题，也为学生后续课程的学习奠定了必要的基础。,第12章 平面杆件体系的几何组成分析,内容提要 本章主要介绍平面体系的几何组成分析。通过本章的学习主要应掌握几何不变体系的基本组成规则，并能够灵活运用这些规则对平面体系进行几何组成分析；掌握超静定结构超静定次数的确定方
2、法。,12.1 平面体系几何组成分析的目的,12.1.1 几何不变体系和几何可变体系 结构是由构件相互联结而组成的体系，其主要作用是承受并传递荷载，但并不是无论怎样组成都能作为工程结构使用，例如图12-1(a)所示的体系，在受到任意荷载作用时，若不考虑材料的应变，该体系的几何形状和位置均保持不变，可以作为工程结构使用。但如果从该体系中去掉中间的斜杆，形成如图12-1(b)所示的体系，则在很小的荷载作用下，它也不能保持原有的几何形状和位置。显然，图12-1(b)所示的体系不能作为工程结构使用。,图12-1,由图12-1可以看出，体系可以分为两类： 1几何不变体系 在不考虑材料应变的条件下，几何形
3、状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。 2几何可变体系 在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位置可以改变的体系称为几何可变体系。,12.1.2 平面体系几何组成分析的目的 工程结构必须是几何不变体系。在对结构进行分析计算时，首先必须分析判别它是不是几何不变体系，这种分析判别的过程称为体系的几何组成分析，其目的在于： （1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。 （2）根据体系的几何组成，确定结构是静定的还是超静定的，从而选择相应的计算方法。 （3）明确结构中各部分之间的联系，从而选择结构受力分析的顺序。 在对体系进行几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，因此体系中的某一杆件或已知
4、是几何不变的部分，均可视为刚体。在平面体系中又将刚体称为刚片。,12.2 平面体系的自由度和约束,12.2.1 自由度 对平面体系进行几何组成分析时，判别一个体系是否几何不变可先计算它的自由度。所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标的个数；也可以说是一个体系运动时，可以独立改变其位置的几何参数的个数。 平面内的一个点，要确定它的位置，需要有x，y两个独立的坐标（图12-2(a)），因此，一个点在平面内有两个自由度。,图12-2,确定一个刚片在平面内的位置则需要有三个独立的几何参数。如图12-2(b)，在刚片上先用x，y两个独立坐标确定A点的位置，再用倾角确定通过A点的任一直线AB的位置，这
5、样，刚片的位置便完全确定了。因此，一个刚片在平面内有三个自由度。 凡体系的自由度大于零，则体系是可以发生运动的，即自由度大于零的体系是几何可变体系；几何不变体系则是自由度小于或等于零的体系。,12.2.2 约束 在刚片之间加入某些联结装置，可以减少它们的自由度。能使体系减少自由度的装置称为约束（或称联系）。减少一个自由度的装置，称为一个约束，减少n个自由度的装置，称为n个约束。下面分析几种联结装置的约束作用。,1.链杆 图12-3(a)表示用一根链杆将一个刚片与基础相联结，此时刚片可随链杆绕C点转动又可绕A点转动。刚片的位置可以用如图12-3(a)所示的两个独立的参数和确定，其自由度由3减少为
6、2。可见一根链杆可减少一个自由度，故一根链杆相当于一个约束。,图12-3,2.铰 联结两个刚片的铰称为单铰。图12-3(b)表示刚片和用一个铰B联结。未联结前，两个刚片在平面内共有六个自由度。用铰B联结后，若认为刚片的位置由A点坐标、及倾角确定，而刚片则只能绕铰B作相对转动，其位置可再用一个独立的参数即可确定，因此减少了两个自由度。所以，两刚片用一个铰联结后其自由度由6减少为4。故单铰的作用相当于两个约束，或相当于两根链杆的作用。,联结两个以上刚片的铰称为复铰。图12-3(c)为三个刚片用复铰A相联，设刚片的位置已确定，则刚片II、III都只能绕A点转动，从而各减少了两个自由度。因此，联结三个
7、刚片的复铰相当于两个单铰的作用。由此可知，联结n个刚片的复铰相当于（n1）个单铰。,3.刚性联结 所谓刚性联结如图12-3(d)所示，它的作用是使两个刚片不能有相对的移动及转动。未联结前，刚片和在平面内共有六个自由度。刚性联结后，刚片仍有三个自由度，而刚片相对于刚片既不能移动也不能转动。可见，刚性联结能减少三个自由度，相当于三个约束。,工程实际中，对于常见的由若干个刚片彼此用铰相联并用支座链杆与基础相联而组成的平面体系，设其刚片数为m，单铰数为(h)，支座链杆数为r，则理论上该体系的自由度为 （12-1） 因体系中各构件的具体位置不同，致使每个约束不一定都能减少一个自由度，即W不一定为体系的真
8、实自由度，故将W称为体系的计算自由度。 如果W0，则表明体系缺少足够的约束，因此体系是几何可变的。,图12-4 图12-5,如果W0，体系却不一定就是几何不变的。如图12-4和图12-5所示的体系，虽然两者的W均为零，但前者是几何不变体系，而后者是几何可变体系。由此可知，W0只是体系为几何不变的必要条件。,12.3 平面体系几何组成分析,12.3.1 几何不变体系的基本组成规则 前面指出，体系的W0只是体系为几何不变的必要条件。为了判别体系是否几何不变，下面介绍其充分条件，即几何不变体系的基本组成规则。 1. 三刚片规则 三个刚片用不共线的三个铰两两相联，组成的体系是几何不变的。,在图12-6
9、所示的铰接三角形中，每根杆件均为一个刚片，假定刚片I不动，则刚片II上的C点只能在以A点为圆心以AC为半径的圆弧上运动；刚片III上的C点只能在以B点为圆心以BC为半径的圆弧上运动。但刚片II和刚片III又用铰C相联，铰C不可能同时沿两个不同方向的圆弧运动，故只能在两个圆弧的交点处固定不动。于是各刚片间不可能发生任何相对运动。因此，这样组成的体系是几何不变的。,图12-6,图12-7,2二元体规则 在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，且无多余约束。 所谓二元体是指由两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 图12-7所示为在一刚片上增加二元体后的情形，显然它是几何不变的。由图12
10、-7不难看出二元体规则与三刚片规则实际上是相同的，只是将三刚片规则中的任意两个刚片分别代之以链杆而已。,3两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，所组成的体系是几何不变的；或者两个刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联，所组成的体系是几何不变的，且无多余约束。,图12-8 图12-9 图12-10,此规则的前一种叙述，实际是将三刚片规则中的任意一个刚片代之以链杆，如图12-8所示，显然体系是几何不变的。这里需要对后一种叙述作一说明：在图12-9中，刚片I和II用两根不平行的链杆AB和CD相联。假定刚片I不动，则刚片II可绕AB与CD两杆的延长线的交点O转动，因此，联结两刚片的
11、两根链杆的作用相当于在其交点的一个铰，但这个铰的位置是随着链杆的位置变动而变动的，这种铰称为虚铰。图12-10所示为两个刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联的情形。此时可把链杆AB、CD看作是在其交点O处的一个铰，则两刚片就相当于用铰O和链杆EF相联，且链杆不通过铰O，故为几何不变体系。,12.3.2 瞬变体系 在上述三刚片规则中要求三个铰不共线，若三个铰共线，如图12-11所示的情形：铰C可沿图示两圆弧公切线作微小移动，因而是几何可变的。不过一旦发生微小移动后，三个铰将不再共线，即又转化成一个几何不变体系。这种原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系，称为瞬变体系。瞬变体系是几何
12、可变体系的特殊情况，不能作为工程结构使用。为区别起见，又将经微小位移后仍能继续发生运动产生大位移的几何可变体系称为常变体系（图12-11）。,当两刚片用交于一点或相互平行的三根链杆相联时，则所组成的体系或是瞬变体系（图12-12）；或是几何常变体系（图12-13）。,图12-11,图12-12,图12-13,12.3.3 平面体系几何组成分析示例 前面介绍了几何不变体系的几个基本组成规则，下面举例说明如何应用这些规则对平面体系进行几何组成分析。,【例12-1】试对图12-14所示体系进行几何组成分析。,图12-14,解：先取地基为一刚片，杆AB与地基是用链杆1、2、3按两刚片规则相联组成一几何
13、不变体系，于是可把杆AB与地基一起看作是一扩大了的刚片I。再把杆BC看作是刚片II，刚片I与刚片II用铰B和链杆4按两刚片规则相联，这又组成了一个更大的刚片，最后在此刚片上增加一个二元体CDE组成整个体系。故此体系为几何不变体系，且没有多余约束。,【例12-2】试对图12-15(a)所示体系进行几何组成分析。,图12-15,解：体系本身与地基是按两刚片规则相联的，因此只需对体系本身进行几何组成分析即可。如图12-15(b)所示，对该部分可按结点1、2、3的顺序依次减去二元体，最后只剩下刚片78。故原体系是几何不变体系。,【例12-3】 试对图12-16(a)所示体系进行几何组成分析。,图12-
14、16,解：对体系进行几何组成分析时，体系中凡是用两个铰联结的刚片，均可视为链杆。因此，图12-16(a)中的刚片AD、CE可分别视为链杆1、3，如图12-16(b)所示。在图12-16(b)中，把BDE部分视为刚片I、地基视为刚片II，这两个刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆1、2、3相联，故原体系是几何不变体系。,【例12-4】试对图12-17所示体系进行几何组成分析。,图12-17,解：此体系中的ACD部分和BCE部分是两个铰接三角形，均为几何不变体系，故可将其分别视为刚片I和刚片II；支座F可视为加在地基上的二元体并与地基组成刚片III。刚片I与刚片III用链杆1、2相联，这相当于用虚
15、铰A相联，同理刚片II与刚片III相当于用虚铰B相联，而刚片I、II用铰C相联，因A、B、C三个铰共线，故此体系是一瞬变体系。,【例12-5】 试对图12-18所示体系进行几何组成分析。,图12-18,解：首先，将体系中折杆DHG与FKG分别视为链杆DG、FG（图12-18中虚线所示），然后依次拆除二元体DGF、EFC，再将剩下的折杆ADE、杆BE和地基分别视为刚片，这三个刚片用不共线的三个铰A、E、B两两相联，组成几何不变体系，故原体系是几何不变的。,12.4 静定结构与超静定结构,12.4.1静定结构与超静定结构的概念 结构可分为静定结构和超静定结构。如果结构的全部反力和内力都可由平衡条件
16、确定，这种结构称为静定结构；而只由平衡条件不能确定全部反力和内力的结构，称为超静定结构。,如图12-19(a)所示的梁有三个反力，这三个反力可由平面力系的三个平衡方程确定，并进一步由截离体的平衡条件确定其任意截面的内力，因而此梁是静定结构。图12-19(b)所示的梁有四个反力，而独立的平衡方程仍只有三个，显然只由这三个方程不能将四个反力全部确定，所以此梁是超静定结构。,图12-19,从几何组成上分析，图12-19(a)所示的梁是无多余约束的几何不变体系，图12-19(b)所示的梁是有多余约束的几何不变体系。因此，静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束，超静定结构的几何特征是几何不变且有多余约束。,12.4.2 超静定结构超静定次数的确定方法 超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。确定超静定次数的方法一般是：去掉多余约束使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。 从超静定结构中去掉多余约束的方式通常有以下几种： (1)去掉一根支
