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1、第七章 直梁弯曲（1）, 课节71 弯曲概念和弯曲内力 课节72 剪力图和弯矩图一 课节73 剪力图和弯矩图二 课节74 弯曲正应力和强度计算, 课节71 弯曲概念和弯曲内力,直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内；梁轴线弯成一条平面曲线。,2.平面弯曲,d),c),一、平面弯曲的概念,梁横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面,若外力沿横向作用在纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。本章主要研究直梁的平面弯曲。,1.工程实例,图示起吊机大梁、火车轮轴等，在力作用下发生了弯曲。这种变形称为弯曲变形。把发生弯曲变形的杆件称为梁。,梁的截
2、面有一根纵向对称轴。,4.静定梁的基本力学模型 根据梁受不同的约束，梁的力学模型分为简支梁（图a)、外伸梁（图b) 、悬臂梁（图c),1.梁的简化,3.荷载的简化,二、梁的力学模型,平面弯曲的梁，用轴线来代替梁,作用于梁上的外力，包括荷载，可简化为集中力、集中力偶、分布荷载。,2.支座的简化,梁的力学模型包括了梁的简化、支座的简化和荷载的简化。,按支座的不同约束特性，静定梁的约束可简化为固定铰支座、活动铰支座、固定端支座。,取截面左段梁为研究对象列平衡方程,三、弯曲内力剪力FQ和弯矩M,用m-m将梁分为两段，求任意x截面内力。,1.用截面法求弯曲内力,图示悬臂梁，在A端作用一集中力F。,弯矩M
3、垂直于截面的内力偶矩。,剪力FQ平行于截面的内力。,Fy=0:,Mc(F)=0:,画梁的受力图求其约束力FB、约束力偶矩MB。,取截面右段梁为研究对象列平衡方程,Fy=0:,Mc(F)=0:,2. 剪力、弯矩的正负规定,取一梁段如图， FQ、 M的正负规定为,弯矩左顺右逆为正，反之为负。,剪力左上右下为正，反之为负,3.求弯曲内力的简便方法,FQ(x)=x截面左(右)段梁上外力的代数和，左上右下为正。,(x)=x截面左(或右)段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正。,四、应用举例,解：1.画梁的受力图求约束力。,2. 求指定临近截面的剪力和弯矩（用简便方法）,用截面左段梁上的外力计算,1-1截面,
4、(弯矩计算中按0代入）,2-2截面,3-3截面,用截面右段梁上的外力计算,1-1截面,2-2截面,3-3截面,解： 1.画梁的受力图求约束力。,例8-7 图示的外伸梁AB，在CB段作用均布荷载q，求指定截面的剪力和弯矩。,2.求指定截面的剪力和弯矩,2-2截面,3-3截面,4-4截面,1-1截面,2. 求截面的剪力和弯矩,2-2截面,3-3截面,4-4截面,5-5截面,解：1.画受力图求约束力,1-1截面,例8-2 外伸梁DB如图示，已知均布荷载q，集中力偶C=2qa2。试求梁指定截面的剪力和弯矩。,本课节小结,求梁横截面内力的简便方法： FQ (x)= 左(或右)段梁上外力的代数和，左上右下
5、为正。 (x)=左(或右)段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正。,一、直梁平面弯曲概念,直梁平面弯曲的受力与变形特点：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁轴线弯成一条平面曲线。,二、梁的力学模型,梁的力学模型包括了梁的简化、荷载的简化和支座的简化。静定梁的基本力学模型分为简支梁、外伸梁、悬臂梁。,三、弯曲内力剪力FQ和弯矩M,弯曲内力的正负规定：剪力左上右下为正，反之为负。弯矩左顺右逆为正，反之为负。,课后作业：建筑力学练习册 练习十九, 课节72 剪力图和弯矩图一,一、用剪力、弯矩方程画剪力图、弯矩图,1.剪力方程和弯矩方程,2.列剪力方程和弯矩方程,3. 建立坐标画剪力图和弯矩图,例8-3 图示
6、台钻手柄杆AB用螺纹固定在转盘上，已知l、F，试建立手柄杆AB的剪力、弯矩方程，并画其剪力、弯矩图。,解 :1.建AB杆悬臂梁模型，求出约束力,FQ（x）= FA=F （0xl),（x）= FAx-MA=-F（l-x） (0xl),FA=F， MA=Fl。,剪力图为平行于x 轴的水平线，弯矩图为斜直线，|max= Fl 。,把剪力和弯矩表示为截面坐标x的单值连续函数。 FQ= FQ(x), M= M(x),2.剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程表示的函数图象。,从上例8-3可以得出,结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。,确定直线两点的坐标， A点的临近截面A+的弯矩值 M
7、A+=-Fl,B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F=0,例8-4 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的剪力、弯矩图。,2.列剪力方程和弯矩方程,3. 画剪力图,解 :1. 求出约束力,FA=ql/2， FB= ql/2。,选取距梁左端任意x截面,用两点式画出剪力图的斜直线。,4. 画弯矩图,用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。,弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之向下。,4.集中力偶作用处,弯矩图为二次曲线，曲线凹向与均布荷载同向；用两点坐标描出大致二次曲线。在剪力等于零的截面，曲线有极值。,1.集中力作用处,2.无外力梁段上,弯矩图有折点
8、。,二. 画剪力图和弯矩图的简便方法(从梁的左端做起）：,剪力图有突变，突变幅值等于力的大小，方向与力同向。,剪力图不变化。,剪力图保持突变后的常量。,弯矩图为斜直线。用两点式画斜直线。,剪力图为斜直线。,3.均布荷载作用的梁段上,解： 1.画梁的受力图求约束力。,三、弯曲内力图简便画法应用举例,2.画剪力图 建立x-FQ坐标，从梁左端画图。,FA=F/2,FB=F/2,F/2,-F/2,3.画弯矩图 建立x-M坐标，从梁左端画图。,Fl/4,例8-5 图示跨长为l的简支梁AB，中点C作用集中力F，试用简便画法画梁剪力图和弯矩图。,解： 1.画梁的受力图求约束力。,例8-6 图示的简支梁AB，
9、在C点处作用集中力偶M0，试画此梁的剪力、弯矩图并求最大弯矩。,2.画剪力图 建立x-FQ坐标，从梁左端画图。,-M0/(a+b),3.画弯矩图 建立x-M坐标，从梁左端画图。,-M0a/(a+b),M0b/(a+b),解： 1.画梁的受力图求约束力。,例8-7 图示的外伸梁AB，在CB段作用均布荷载q，试画此梁的剪力、弯矩图并求最大弯矩。,2.画剪力图 建立x-FQ坐标，从梁左端画图。,-qa/4,3.画弯矩图 建立x-M坐标，从梁左端画图。,-qa2/2,qa,解 :1. 求出支反力,2.建立坐标，对应截面,5. 最大弯矩 |max= Fa,例8-8 图示外伸梁AB，已知F 、a，画梁剪力
10、、弯矩图， 并求梁的|max 。,F/2,-3F/2,F,3.按突变规律画剪力图,Fa/2,-Fa,4.求截面弯矩，画弯矩图,解 :1. 求约束力,2.建立坐标，对应截面,4. 最大弯矩 |max=2Fa,例8-9 图示悬臂梁AB，已知F 、a、 M0=Fa ，画梁剪力、弯矩图,并求梁的|max 。,F,2F,3.按突变规律画剪力图,-2Fa,Fa,-Fa,4.求截面弯矩，画弯矩图,悬臂梁可以不求约束力,解 :1. 求出支反力,2.建立坐标，对应截面,4. 最大弯矩 |max=2Fa/3,例8-10 图示简支梁AB，已知F 、a、 M0=Fa ，画梁剪力、弯矩图,并求梁的|max 。,3.求截
11、面弯矩,本课节小结,一、用剪力、弯矩方程画剪力图弯矩图,1.剪力、弯矩方程 FQ= FQ(x), M= M(x) 2.剪力、弯矩图剪力方程和弯矩方程表示的函数图象,二. 画剪力图和弯矩图的简便方法,1.集中力作用处 剪力图有突变。 弯矩图有折点。 2.无外力梁段上 剪力图保持常量。弯矩图为斜直线。 3.集中力偶作用处 剪力图不变化。 弯矩图有突变， 4.均布荷载作用的梁段上 剪力图为斜直线。弯矩图为二次曲线。,课后作业：建筑力学练习册 练习二十, 课节73 剪力图和弯矩图二,一、剪力图和弯矩图画法习题课,解 :1. 求出支反力,2.建立坐标，对应截面,5. 最大弯矩 |max= Fa,例8-8
12、 图示外伸梁AB，已知F 、a，画梁剪力、弯矩图， 并求梁的|max 。,F/2,-3F/2,F,3.按突变规律画剪力图,Fa/2,-Fa,4.求截面弯矩，画弯矩图,解 :1. 求约束力,2.建立坐标，对应截面,4. 最大弯矩 |max=2Fa,例8-9 图示悬臂梁AB，已知F 、a、 M0=Fa ，画梁剪力、弯矩图,并求梁的|max 。,F,2F,3.按突变规律画剪力图,-2Fa,Fa,-Fa,4.求截面弯矩，画弯矩图,悬臂梁可以不求约束力,解 :1. 求出支反力,2.建立坐标，对应截面,4. 最大弯矩 |max=2Fa/3,例8-10 图示简支梁AB，已知F 、a、 M0=Fa ，画梁剪力
13、、弯矩图,并求梁的|max 。,3.求截面弯矩,解 :1. 求出支反力,2.建立坐标，对应截面,4. 最大弯矩|max=3qa2/4,例8-11 图示外伸梁AB，已知q、a、 F=qa/2、M0=3qa2/2 ，画梁剪力、弯矩图，并求梁的|max 。,3.求截面弯矩,qa2/8,切应力为零的E截面，弯矩矩的二次曲线有极值。,二、弯矩M（x）、剪力（x） 、荷载集度q （x）间的微分关系,解 :1.建立剪力、弯矩方程,2.对剪力、弯矩方程取微分,-ql,3.画剪力、弯矩图,-ql 2/2,例8-12 图示悬臂梁AB，已知作用的荷载集度q(x)=-q 、跨长为l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力
14、、弯矩图。,结论1：梁的弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系：,三、用剪力图面积求任意x截面弯矩,F,外伸梁（左图）,悬臂梁（右图）,结论2： 任意x截面的弯矩M(x)=(0x)截面剪力图的面积加上（0x）梁段上集中力偶矩的代数和，力偶矩顺时针为正 。,本课节小结,一、剪力图和弯矩图画法习题课,二、弯矩M（x）、剪力（x） 、荷载集度q （x）间的微分关系,梁的弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系：,三、用剪力图面积求任意x截面弯矩,任意x 截面的弯矩M(x)=0x截面剪力图的面积加上（0x）梁段上集中力偶矩的代数和，力偶矩顺时针为正 。,课后作业：建筑力学练习册 练习二十一, 课节74 弯曲正应力和
15、强度计算,一、纯弯曲与横力弯曲 分析图示简支梁的剪力、弯矩图。,横力弯曲AC、DB段，0，FQ 0。 纯弯曲CD段，0，FQ =0。,二、纯弯曲正应力公式,2.平面假设 假设横截面在变形过程中始终保持为平面。,1.实验观察,3. 中性层与中性轴,4. 弯曲正应力公式,截取出一横截面绕其中性轴与相邻截面产生相对转角d的示意图（图a）观察其变形。,式中Iz称为截面惯性矩。,结论：弯曲正应力与截面弯矩M成正比，与该点到中性轴的距离y坐标成正比，而与截面对中性轴z的惯性矩Iz成反比 。,最大正应力发生在截面上、下边缘的点上,Wz=Iz/ymax称为抗弯截面系数。,弯曲正应力强度准则 (7-5),四、强度计算,三、惯性矩和抗弯截面系数,弯曲正应力强度准则是依据纯弯曲建立的强度准则，对于横力弯曲的细长梁（l/h5） ，仍用纯弯曲应力建立的强度准则进行强度计算。,1. 圆截面 设直径为D，则 (7-3),2.矩形截面 设宽为b，高为h，则 (7-4),解：1.画梁的弯矩图求最大弯矩。,2. 校核强度,五、应用举例,强度满足。,截面竖放时：,强度不满足。,截面平放时：,以上计算结果表明：矩形截面梁发生弯曲变形时，通常采用
