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1、典型例题例1：已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_思路分析本题是几何中的计算问题通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长解：如图4-50，梯形ABCD中，ADBC，BDBC设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，（熟记梯形面积公式）解得x+y=8，z=8，过D作DEAC交BC的延长线于E四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）DE=AC，AD=CE（将“上底+下底”转化到一条线段上）在RtDBE中，DBE=90，BE=BC
2、+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得，AC=DE，点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”例2：如图4-51，已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE思路分析这是一个直角梯形，通过作CFAB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的证明：如图
3、4-52，连结AC，过C作CFAB于F在CFB和AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）（构造三角形证明三角形全等）CFBAEB（AAS）CF=AED=90，CFAB且ABCD，AD=CF，AD=AE在RtADC和RtAEC中，RtADCRtAEC（HL）CD=CE点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常
4、用到的例3：如图4-53，梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC求证：AC=CE思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法证法一：四边形ABCD是等腰梯形，ADC=BCD （等腰梯形同一底上的两个角相等）又ABDC，BCD=CBE，（两直线平行，内错角相等）ADC=CBE，在ADC和CBE中，ADCCBE （SAS）AC=CE证法二：如图4-54，连结BD，DCBE，DC=BE，四边形DCEB是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）DB=CE又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，（等腰梯形对角线相等）AC=CE证法三：如图4-55
5、，作CFAE于F，DMAE于M在AMD和BFC中，AMDBFC （AAS）AM=BF又ABDC，MDFC，DC=MF又DC=BE，AM+MF=BF+BE，F为AE的中点，CF是AE的垂直平分线，AC=CE证法四：如图4-54，连结BDDCBE，DC=BE，四边形DCEB是平行四边形，DBA=E，（两直线平行，同位角相等）又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，在ABC和BAD中，ABCBAD （SSS）CAB=DBA，CAB=E，AC=CE（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线
6、段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的铝板，第一块长500mm，宽300mm（如图4-57（1），第二块长600mm，宽250mm（如图4-57（2），可供选用（1）为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是_（2）从图4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上
7、面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来思路分析通过计算，两直角梯形零件面积分别为，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共4个，由计算得第一块铝板面积为：，而零件甲、乙的面积分别为，剩余的边角料的面积是；（2）如图4-58所示正确画出图形（设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利
8、于思维向纵深发展）习题精选一、选择题1下列命题中，真命题有( )有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a、c作为梯形的两底，这样的梯形( )(A)只能作1个 (B)能作2个(C)能作无数个 (D)不能作3在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，E是CD中点，则( )(A)AE=BE (B)AEBE(C)AEBE (D)AE、BE大小不确定4等腰梯形的两底长分别为a、b，且对角线
9、互相垂直，它的一条对角线长是( )(A)(B) (ab)(c) (D)ab5有两个角相等的梯形是( )A等腰梯形B直角梯形C一般梯形D等腰梯形或直角梯形6已知直角梯形的一腰长为10cm，这条腰与底所成的角为30，那么另一腰的长为( )A2.5cm B5cm C10cm D15cm7如图4-59，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对（平移对角线BD即可）8如图4-60，ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是( )A130 B140 C150 D160二、填空题9在梯形AB
10、CD中，ADBC，B=50，C=80，AD=a，BC=b，则D=_，CD=_10直角梯形一底与一腰的夹角为30，并且这腰长为6厘米，则另一腰长为_11已知梯形ABCD中，ADBC，ACBC，ACBD于O，AC=8，BD=6，则梯形ABCD的面积为_12已知梯形上、下底长分别为6、8，一腰长为7，则另一腰a的范围是 _，若a为奇数，则此梯形为_梯形13梯形不在同一底上的两组角的比值分别为36和42，则四个角的度数分别为_14等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是_15已知梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，若B=30，AD= 2cm，BC= 6cm，那么梯形的周长为_1
11、6已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长的取值范围是_17已知：等腰梯形的两底分别为10cm和20cm，一腰长为，则它的对角线长为_cm三、解答题18梯形ABCD中，ADBC，BDDC，若AB=AD=DC，梯形ABCD的周长为10，求梯形ABCD的面积19已知梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=90，E为AD中点，F是BC中点求证：20如图4-61，已知等腰梯形ABCD，ADBC，E为梯形内一点且EA=ED求证：EB=EC21如图4-62，四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AEBD求证：BEDBCD22如图4-63，梯形ABCD中，B+C=90，E、F分别为上、下底的中点求证：参考答案：一、1B； 2D； 3A； 4A5D； 6B； 7C； 8C； 二、9100，b-a； 103；1124； 125a9，等腰梯形；1360，60，120，1201460； 15；161x7； 1717；三、18AD=AB=DC 1=2， ADBC， C=2+3，1=3 2=3， C=23 BDDC， 3=30， 设CD=x，则x+x+x+2x=10， x=2
