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1、第4章 微分中值定理 及导数的应用,4.1 微分中值定理,本节先介绍罗尔(Rolle)定理,然后由罗 尔定理推导出另外两个中值定理拉 格朗日(Lagrange)中值定理、柯西Cauchy) 中值定理。,4.1.1 罗尔定理,由极限的局部保号性可知,在x0 处的单 侧导数,定理1(罗尔定理) 如果函数f(x)满足以 下条件: (1)在闭区间a,b上连续。 (2)在开区间(a,b)内可导。 (3)在区间两个端点处的函数值相等,即 f(a)=f(b),罗尔中值定理的几何意义:对应区间 a,b上的光滑连续曲线y =f(x),若两端点的 高度相同,则在曲线y =f(x)上至少存在一点 (,f(),使得曲
2、线过该点的切线C1 的斜率 为0,即切线平行于x 轴,如图4-1所示,实质上 C1 平行于弦AB。,注 (1)罗尔定理中存在 (a,b),使得 f()=0,但 具体位置不知。 (2)罗尔定理是充分条件,三个条件中有 一个不满足甚至全部不满足时,结论仍有可 能成立,也有可能不成立。,4.1.2 拉格朗日中值定理,定理2(拉格朗日中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续,开区间(a,b)内可 导,则至少存在一点 (a,b),使得,分析 如图4-2所示,连续曲线在(a,b)上 每一点都有不垂直于x 轴的切线,则在(a,b) 内至少存在一点处的切线平行于两个端点 的连线。,显然,在定理中若令
3、f(a)=f(b),便可得到 罗尔定理。 另外,将罗尔中值定理对应的图4-1中的 曲线y =f(x)稍作旋转,由C1 与弦AB 的平行 关系不变,便可得到拉格朗日中值定理。,拉格朗日中值定理的其他形式 f(b)-f(a)=f()(b-a), (a,b) 理解为,两端点的函数值之差等于自变 量之差乘上区间内某一点的导数。,由拉格朗日中值定理,还可以得到下面 两个常用的结论。,4.1.3 柯西中值定理,定理3(Cauchy中值定理) 如果函数 (x),g(x)在闭区间a,b上连续,开区间(a,b)内 可导,且g(x)0,x (a,b),则至少存在一点 (a,b),使得,该定理表明,满足定理条件的两
4、函数,两 端的端点函数值之差的比等于它们在某一 点导数的比。 另外,在定理中若令g(x)=x,便可以得到 拉格朗日中值定理。,例5 设0a b,f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,试证:至少存在一点 (a,b),使得,而 由以上两式可得 定理得证。,4.2 洛必达法则,在第2章中我们介绍了 型未 定式,对于这两种形式的未定式,根据具体情 况常用等价无穷小、有理化、同除分母最 高次数等方法求其极限。 本节介绍借助导数求解这两类未定式 的一般方法洛必达法则。,4.2.1 未定式,定理(洛必达法则) 若在某一变化过程 中有,由例3和例4可知,在x + 的过程中, 对数函数、幂函数、指数函数
5、的相对增长 速度,指数函数最快,其次为幂函数,对数函 数增长最慢。,注 利用洛必达法则求极限时,若求导之 后仍满足定理,则可继续使用法则直至求出 极限或法则失效;在求极限的过程中,可结合 其他求极限的方法以提高计算效率,例如等 价无穷小的替换、分式的化简、重要极限 等可以大大简化计算过程;注意,洛必达法则 是原未定式有极限(或为无穷大)的充分条件 ,若求导之后无极限也不是无穷大,原未定式 仍可能有极限。,4.2.2 其他形式的未定式,1.0 型未定式 对于0 型未定式可通过恒等变换化 为 未定式,利用洛必达法则计算。 变换要照顾到求导的方便。,这三种形式的未定式,通常表示幂指数 函数的某种变化
6、过程。 一般做法是,先化为以e为底的复合函 数,然后利用指数函数的连续性转化直接求 指数的极限。 而指数为0 型未定式,可化为 未定式,利用洛必达法则计算。,4.3 函数的单调性与极值,在第1章中介绍了函数单调性的定义, 并给出了基本初等函数的单调性。 对于一般的初等函数,我们通常借助导 数来研究其单调性。 本节还将介绍函数极值和最值的求法 和应用。,4.3.1 函数的单调性,4.3.2 函数的极值,f(0)= 0是f(x)=|x|的极小值,但函数在x=0 处不可导。 因而极值点只能是驻点或不可导点,这 样我们只须在这两类点中寻找极值点。,通常按如下步骤求函数的极值点和极值。 求出导数f(x)
7、,并确定不可导点。 令f(x)=0,求得f(x)的全部驻点。, 用不可导点和驻点将定义域分成若 干个子区间,考察f(x)的符号在上述所有点 的左、右邻近的情形,以便确定这些点是否 为极值点,进一步还要确定对应的函数值是 极大值还是极小值。 求出各极值点处的函数值,就得到函 数f(x)的全部极值。,4.3.3 函数的最值,若f(x)在区间a,b上连续,由闭区间连 续函数的性质可知,f(x)必能取到最大值和 最小值。 接下来,我们讨论如何求f(x)的最值和 最值点。 初等函数f(x)在区间a,b上的最值可能 在端点处取到,也可能在区间(a,b)内取到。,若最值落在区间内部,则必为极值,而极 值点只
8、可能是驻点或不可导点。 因此,最值只可能在端点或该区间内的 驻点、不可导点中取到。 若求最值,只须求出上述点的函数值并 加以比较,最大的为最大值,最小的为最小值。,例8 某商品的需求量Q 是价格P 的函数, 即Q(P)=75-P2,问P 为何值时,总收益最大? 解 总收益 R =PQ(P)=75P -P3,P (0,+ ),4.4 曲线的凸性与拐点,在第3节中,我们讨论了函数的单调性, 反映在图形上就是曲线上升或下降。 但在上升或下降的过程中还有弯曲方 向的问题,即曲线的凸性。,4.4.1 曲线的凸性,1.定义 设f(x)在区间I 上连续,若对于x1,x2 I,如果恒有,2. 几何意义,如图4
9、-5(a)所示,过上凸曲线上任一点 做曲线的切线,切线都在曲线的上方。 如图4-5(b)所示,过下凸曲线上任一点 做曲线的切线,切线都在曲线的下方。,下面给出,借助函数的二阶导数判断曲 线凸性的方法。 定理 设f(x)在区间a,b上连续,且在 (a,b)内二阶可导。,(1)若x (a,b)恒有f(x)0,则f(x) 在a,b上的图形是下凸的。 (2)若x (a,b)恒有f(x)0,则f(x) 在a,b上的图形是上凸的。 定理的正确性可借助图4-5理解。,4.4.2 曲线的拐点,定义 连续曲线上凸性改变的分界点称 为曲线的拐点。 类似于对极值第一充分条件的讨论,若 f(x)在点x = x0 两侧
10、的二阶导数异号,则x = x0 必为拐点,否则不是拐点。 因此,对于初等函数的曲线,我们只须在 二阶导数符号改变的点中寻找拐点。,若f(x)连续,则f(x)正负改变的点必 为f(x)= 0的点,另外二阶不可导点两侧的 f(x)可能异号。 经上述讨论可得求拐点和凹凸区间的 一般方法。,(1)求出f(x)的所有二阶导数为零的点 和二阶不可导点。 (2)用上述点将定义域分成若干区间, 则f(x)在每个区间上符号恒定。,(3)用特殊值代入法,确定每个区间上f(x) 的符号,从而判定在该区间上的凹凸性。 (4)分析分界点两侧的凹凸性,确定拐点和 凹凸区间。,4.5 函数的作图,4.5.1 曲线的渐近线
11、定义 如果曲线上的一点沿曲线趋于无 穷远时,该点与某直线的距离趋于0,则称该 直线为所给曲线的渐近线。,通常渐近线分为水平渐近线、铅垂渐 近线和斜渐近线三种。 我们只研究水平渐近线和铅垂渐近线。,1. 水平渐近线,若对于函数f(x),x 单侧趋于无穷时有极 限 则称直线y =a 为曲线y =f(x)的一条水 平渐近线。,2. 铅垂渐近线,若点x =x0 为函数y =f(x)的一个无穷间 断点,即,4.5.2 函数的作图法,通过前面几节的讨论可知,借助导数可 确定函数的一些性态,而这些性态常用于函 数的作图。 函数作图一般分为以下几个步骤。, 确定函数y =f(x)的定义域,求出函数 的f(x)和f(x)。 求出方程f(x)=0和f(x)=0的全部 实根,确定所有一阶和二阶导数不存在的点, 并用以上所有点将定义域分成若干区间。 确定在各个区间上一阶和二阶导数 的符号,从而判定函数的单调区间、凹凸区 间、极值和拐点,列出函数的性态表。, 确定函数图形的水平、铅垂渐近线。 描出性态表中的点和一些特殊点,并 借助性态表和渐近线描绘函数的曲线。 注 讨论函数的对称性和周期性有时可 简化作图过程。,(5)列表计算出图形的特殊点,如表4- 6所示。 (6)作出函数的曲线,如图4-8所示。,
