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1、第7章信号的频谱分析傅里叶分析,本章首先介绍周期信号的傅里叶级数表示法及其频谱，然后着重介绍非周期信号的傅里叶变换及其频谱，并通过对傅里叶变换性质的讨论更深刻地揭示信号的时域特性与频域特性间的内在联系，还要简单介绍线性电路的傅里叶分析法，它实际上是正弦稳态相量分析法的推广，最后从频域角度讨论信号通过电路时无失真传输的条件。,7.1周期信号的傅里叶级数展开式,7.1.1三角形式的傅里叶级数展开式7.1.2指数形式的傅里叶级数展开式 7.1.3信号的对称性与傅里叶系数的关系 7.1.4傅里叶级数在电路分析中的应用,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，称为信号的频谱分析。本节只阐述周期信号的频谱
2、分析，其数学工具是傅里叶级数，简称傅氏级数。主要介绍傅氏级数展开式的基本形式及其应用。,凡满足f(t)=f(t+nT)(其中n=0,1,2,3，-t,T为周期)的函数称为周期函数，即周期信号。由数学分析课程已知，任何周期信号f(t)如果满足狄里赫利条件，即信号在一个周期内：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点；绝对（值）可积（分）， 即 ,则f(t)可以展开成如下 两种形式的傅里叶级数。,(n为正整数)（7-1-1） 式中1=2/T称为基波角频率，a0称为直流分量，an、bn分别为余弦和正弦谐波分量的振幅。,7.1.1三角形式的傅里叶级数展开式,它们又称为傅里叶系数，分别由以下三个积
3、分式子确定：,式（7-1-2）中的t0为任选的时刻，一般常取t0=0或t0=-T/2。 式（7-1-1）表明：任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成一个直流分量及无穷多个与基波频率呈整数倍的余弦谐波分量和正弦谐波分量之和。,若将式（7-1-1）中同频率项加以合并： 则三角形式的傅里叶级数又可写成余弦形式 （7-1-3） 比较式（7-1-1）与式（7-1-3），可看出各个量之间有如下关系： (7-1-4),式（7-1-3）比式（7-1-1）表明的更为简捷：任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解为一个直流分量与无穷多个谐波分量之和。显然，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于
4、周期信号的波形。,根据欧拉公式 (7-1-5),7.1.2指数形式的傅里叶级数展开式,将式（7-1-5）代入式（7-1-1）可得到 (7-1-6),考虑到an是n的偶函数，bn是n的奇函数（参见式（7-1-2），则 ,因此f(t)可写成为,若将式（7-1-2）中的an和bn的计算公式代入 ,即可得到傅里叶复系数 而,于是，可将式（7-1-7）合并为一个和式 (7-1-9),式（7-1-9）称为指数形式的傅里叶级数。其中n为从-到+的整数。指数形式比三角形式的傅里叶级数更为紧凑，并能推广出非周期信号的频谱傅里叶变换。,由于Fn和F(-n)是一对共轭复数，可知复 系数 的模Fn必是频率=n1的 偶
5、函数，幅角n是频率=n1的奇函数。指数形式中出现的负频率分量，只是一种数学表达形式而没有物理意义，只有把成对出现的正、负频率分量合并起来，才能构成一个实际的谐波分量，即,指数形式的复系数Fn与三角形式的傅氏系数之间的关系如下： 即,欲将周期信号f(t)展开成傅里叶级数式（7-1-1）或式（7-1-9），关键是利用式（7-1-2）或式（7-1-8）作积分运算求出傅里叶系数。如果f(t)是实信号而且它的波形满足某种对称性时，将致使某些系数为零而不必再作积分，其余系数的计算式也变得比较简单。周期信号有以下几种对称情况。,7.1.3信号的对称性与傅里叶系数的关系,若信号波形以纵轴为对称轴，则称为纵轴对
6、称信号，即满足f(t)=f(-t)，此时f(t)是偶函数。图7-1-1给出了两个纵轴对称信号。,1.纵轴对称,图7-1-1纵轴对称信号,偶信号的复系数Fn为实数。在偶信号的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。f2(t)周期三角脉冲信号的傅氏级数如下式：,若信号波形以原点为对称，则称为原点对称信号，即满足f(t)=-f(-t)，此时f(t)是奇函数。图7-1-2给出了两个原点对称信号。,2.原点对称,图7-1-2原点对称信号,奇信号的复系数Fn为虚数。在奇信号的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项。,若信号波形沿时间轴平移半个周期后的波形与原信号的波形为横轴对称
7、，则称为半周横轴对称信号，即 ，此时f(t)是奇谐函数。图7-1-3给出了两个半周横轴对称信号。,3.半周横轴对称,图7-1-3半周横轴对称信号,在半周横轴对称信号的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项，这也是“奇谐函数”名称的来由之所在。,7.2.1单边频谱 7.2.2双边频谱 7.2.3典型周期矩形脉冲信号的频谱,7.2周期信号的频谱分析,由式（7-1-3）表明的 ，很明显，振幅An及初相位n均是频率=n1的函数。将An=n1画在实平面上的图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱；将n=n1画在实平面上的图称为信号的相位频谱，简称为相位谱。由于n0,频谱图只在频率轴
8、的零频率和正频率一边，所以称为单边频谱。,7.2.1单边频谱,将式（7-1-9）展开式中复系数 随频率=n1的变化关系画出的频谱图，由于n为-的整数，频谱图在频率轴的正、负频率各边均有谱线，所以称为双边频谱。由于 ，因此，幅度谱 是n的偶函数，对称于纵轴；而相位谱 是n的奇函数，对称于原点。,7.2.2双边频谱,由式（7-1-10）所揭示的Fn与 间的关系，当 =n1已知时，可由单边的An和n进一步得到双边的Fn和n频谱图。,图7-2-3图7-1-4(a)信号的双边频谱图,观察以上各例所画周期信号的频谱图，可以看出周期信号的频谱具有以下特点。 （1） 离散性谱线是离散的，两根谱线之间的间隔为基
9、波角频率1。这种频谱常称为离散频谱。 （2） 谐波性谱线在频率轴上的位置是基波角频率1的整数倍。 （3） 收敛性各谐波振幅谱线的高度随着n的增大而减小，虽然可能不是单调减小，但总趋势是随着n的增大而减小。,周期矩形脉冲信号在电信技术中广泛应用。下面专门研究它的频谱，并揭示信号的脉宽与频宽（时域与频域）间的关系。,7.2.3典型周期矩形脉冲信号的频谱,图7-2-4周期矩形脉冲信号,设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度（简称脉宽）为，脉冲幅度为E，重复周期为T（显然，角频率1=2f1=2/T)，如图7-2-4所示。此信号在一个周期内（-T/2T/2）的表示式为 或记为,由于f(t)为偶函数，所以傅
10、氏系数中bn=0,根据式（7-1-2）可得,或写作 可得f(t)三角形式的傅里叶级数为,欲将f(t)展开成指数形式的傅里叶级数，由式（7-1-8）可得复系数Fn为 所以,观察图7-2-6所示周期矩形脉冲信号的频谱，不难看出： 1.周期矩形脉冲信号如同一般的周期信号那样，频谱仍然具有离散性、谐波性和幅度谱的收敛性。 2.直流分量及各次谐波分量幅值的大小与脉宽和脉幅E成正比，与周期T成反比。,3.周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线（因n)，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量，所取的谐波分量越多，叠加后的波形越接近原信号。从零频率开始到能量主要集中的频率范围，或者说从零频率到所需要考虑的最高频率分量
11、的频率范围，称为信号的（有效）频带宽度，简称频宽或带宽，用字母B表示。,通常总是把从零频率开始到频谱振幅下降为包络线最大值的110的频率之间的频带作为信号的频带宽度。而对于振幅具有抽样函数规律的频谱，则常常把=02/(即从零频开始到频谱包络线第一个零点)之间的这段频率范围作为信号的频宽，即 B=2/或Bf=1/ (7-2-6),7.3非周期信号的频谱分析傅里叶变换,7.3.1傅里叶变换的定义式 7.3.2傅氏变换的建立及物理意义7.3.3傅氏变换F（）存在的条件 7.3.4几种常用信号的频谱,通过对积分算式 的运算，必将得到以j为变量的新函数，如果以F（j）表示这个新函数，则所得到的 (7-3
12、-1) 称为傅里叶正变换式，简称傅氏变换。,7.3.1傅里叶变换的定义式,F（j）一般是的复函数，但为了书写简便，可把F（j）写成F（）。从数学观点看，通过傅氏变换可以将一个以时间t为变量的函数f(t)变换成一个以角频率为变量的新函数F()。F（）称为f(t)的傅氏变换，简记为 。,如果对积分算式 进行运算，则必可得到一个以时间t为变量的函数f(t),即 (7-3-2) 式（7-3-2）称为傅里叶反变换，简称傅氏反变换。,当周期信号的周期T时就变成了非周期信号，因此，非周期信号f(t)的频谱也可由周期信号fT(t)的频谱取T的极限导出。 由式（7-1-9）和式（7-1-8）可将周期信号展开成指
13、数形式的傅氏级数，即,7.3.2傅氏变换的建立及物理意义,由上节的讨论已知，周期T增大时，基波角频率1=2/T变小，谱线间隔变密，复振幅Fn变小，但频谱包络线的形状不会改变。当T变得很大，1变为很小，可以用来表示，这时T=2/1=2/,此时式（7-1-8）改写成：,上式右边作积分运算后得到jn的函数，并将此函数用F（n）表示，显然有 (7-3-3) 由式（7-1-9）与式（7-3-3），有 (7-3-4),上式表明，fT(t)可以表示成频率为0，2，的无穷个复指数之和，当T时，0,可用微变量d表示， 求和变成积分，即,这就是傅氏反变换。它表明一个非周期信号f(t)可以分解成为无穷多个频率从-到
14、连续变化的、幅度为无限小的复指数分量之和，其中每一个分量的复振幅为 。从而把周期信号的分解推广到非周期信号。 这便是傅氏正变换式。,式（7-3-5）表明，F（）是非周期信号f(t)在单位频带上的复振幅，具有单位频带振幅的量纲。但F（）是的函数，所以称它为非周期信号f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数或频谱密度，习惯上也简称频谱。,由于F（）是的复函数，因此可以写成指数形式 ,若将模 随频率的变化关系用图形表示，则称为幅度频谱；将幅角（）随频率的变化关系用图形表示，则称为相位频谱。,非周期信号的频谱函数F（）与相应的周期信号的复系数Fn之间的关系为 实际上即为 (7-3-6a) 反之 (7-3-
15、6b),傅氏变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件，即 (7-3-7),7.3.3傅氏变换F（）存在的条件,1.矩形脉冲信号EG(t) 信号G(t)是幅度为1、脉宽为的门信号。矩形脉冲信号f(t)=EG(t)的表示式为,7.3.4几种常用信号的频谱,由于EG(t)满足式（7-3-7）条件，可直接用定义式（7-3-1）求得,由于f(t)为偶函数，所以它对应的F（）是一个实数，可将其幅度频谱和相位频谱同画在一幅图中，如图7-3-1所示。,图7-3-1矩形脉冲信号的波形及频谱,单边指数衰减信号f(t)的表示式为 f(t)满足式（7-3-7）条件，所以,2.单边指数衰减信号,图7-3-2单边指数衰减信号的波形及频谱,单位冲激信号满足式（7-3-7）条件，所以 即 (7-3-10),3.单位冲激信号(t),由于冲激信号为偶函数，所以对应它的频谱F（）是个实数，其波形及频谱图如图7-3-3所示。,图7-3-3单位冲激信号及其频谱,正负号信号sgn(t)不满足式（7-3-7）条件，故不能用定义式（7-3-1）直接求其频谱，但是它确实存在傅氏变换，可以采取取极限方式进一步演变而得到（类似于上述冲激信号可看成是矩形脉冲信号的脉宽0的极限）。正负号信号sgn(t)可以看成是奇双边指数衰减信号f1(t)当a
