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1、第8章瞬态电路的复频域分析,本章先从傅里叶变换入手引出双边拉氏变换，重点讨论单边拉氏变换的常用信号变换对、常用的拉氏变换性质及拉氏反变换，并以例题形式说明复频域分析法的具体应用，最后简要介绍网络函数H（s）。,8.1拉普拉斯变换,8.1.1从傅里叶变换到双边拉氏变换 8.1.2单边拉普拉斯变换 8.1.3拉氏变换存在的条件拉氏变换的收敛域 8.1.4常见信号的拉氏变换,首先介绍拉普拉斯变换。,（8-1-1） 式（8-1-1）定义为双边拉氏正变换式，Fb(s)称为信号f(t)的双边拉氏变换，也称为双边象函数，它是从信号f(t)e-t 的傅里叶变换定义式并引入复变量s=+j导出的。同理，由式（7-
2、3-2）傅里叶反变换式可知：,8.1.1从傅里叶变换到双边拉氏变换,将上式两边同乘以et，并考虑et与无关，可置于积分号内，于是得 式中s=+j，故有ds=jd，即d=ds/j；且当=-时，s=-j；当=时，s=+j，将这些关系代入上式可得 （8-1-2） 式（8-1-2）称为象函数Fb（s）的双边拉氏反变换式。而f(t)称为Fb（s）的原函数。,（8-1-3） 为单边拉氏变换的定义式。F（s）称为f(t)的单边拉氏变换，简称拉氏变换，或象函数。,8.1.2单边拉普拉斯变换,式（8-1-3）定义的单边拉氏变换需强调两点： （1）由于定义式的积分区间从0-到，说明信号f(t)在t0区间的函数值与
3、单边拉氏变换的结果F（s）无关。 （2）如若信号在t=0处不包含冲激函数及其导数项，在求该信号的单边拉氏变换式时，积分下限取0-或0+是一样的。 本章重点讨论单边拉氏变换，简称为拉氏变换，而省略“单边”二字。,从前面的推导已知，信号f(t)的拉氏变换实际是f(t)e-t 的傅氏变换。拉氏变换是否存在，取决于式（8-1-3）积分是否收敛，即f(t)e-t 是否收敛。在单边拉氏变换中，只要(即Res)大于某个确定的数值0，一般就可满足当t时，f(t)e-t 0，从而保证拉氏变换F（s）存在。这一关系可表示为：,8.1.3拉氏变换存在的条件拉氏变换的收敛域,式中括号内0的关系，表示了保证F（s）存在
4、的取值范围，称为象函数F（s）的收敛域。根据0的数值，可将S平面划分为两个区域，如图8-1-2(a)所示，通过0的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴，0称为收敛横坐标。0的具体取值跟信号f(t)的性质有关：,图8-1-2单边拉氏变换的收敛域,单边拉氏变换的收敛域比较简单，在S平面中，F（s）的收敛域总是在收敛横坐标的右侧平面。对于工程实际中常用到的一般信号，其拉氏变换总是存在的，即总能找到一个足够大的0值，使 。,1. 单位冲激信号(t) 将f(t)=(t)代入式（8-1-3），得 即 (即收敛域为整个S平面),8.1.4常见信号的拉氏变换,2. 单边指数衰减信号f(t)=e-at(t)(a0)
5、,3. 单位阶跃信号(t),4. 单位斜变信号R（t）,8.2.1延时性 8.2.2时域微分性 8.2.3时域积分性 8.2.4初值定理 8.2.5终值定理,8.2拉普拉斯变换的性质,延时性表明：有始信号的波形右移（延迟）t0，则它的拉氏变换应乘以延时因子e-st0。,8.2.1延时性,若 ，且其各阶导函数的拉氏变换存在时， 则 式中f(0-)及f(k)(0-)分别表示t=0-时f(t)及 的值。,8.2.2时域微分性,如果f(t)为有始信号，即f(t)=0(t0)，则有f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0，此时时域微分性可简化为 时域微分性表明了信号各阶导函数的拉氏变换与原信号的
6、拉氏变换的关系。,这里需要说明 有界的条件，是指这个定积分的值f(-1)(0-)是有限的数值，不是无穷大。,8.2.3时域积分性,时域积分性表明：若信号的拉氏变换存在，且对该信号从-到0-的积分有界，那么对该信号作移动积分函数的拉氏变换等于F（s）除以s再加上有界值f(-1)(0-)除以s。,如果f(t)为有始信号，即f(t)=0(t0)，显然有f(-1)(0-) =0，此时时域积分性可简化为 通常，在时域里对复杂信号先求导若干次，直到出现常用信号形式为止。这些常用信号的拉氏变换可由表8-1直接写出，然后应用时域积分性，求得复杂信号的拉氏变换。,若信号f(t)和 均存在拉氏变换，并设Lf(t)
7、=F(s) 则 若f(t)包含冲激函数K(t)，此时的 Lf(t)=K+F1(s)，式中F1（s）为真分式,则初值定理应改写为,8.2.4初值定理,若信号f(t)和 均存在拉氏变换，并设Lf(t)=F(s)，而且 存在， 则,8.2.5终值定理,终值定理适用于F（s）的极点（使F（s）为无穷大的s点，即F（s）分母多项式等于零的根）全部位于S平面的左半平面，和在s=0处只有一阶极点的情况。这意味着f(t)为衰减信号或是阶跃信号，确实有终值存在。而等幅振荡只有稳态值并无终值。显然，周期信号和发散信号不适用终值定理。,8.3拉普拉斯反变换,从象函数F（s）求原函数f(t)的过程称为拉普拉斯反变换（
8、或逆变换）。 求取拉普拉斯反变换，可以应用反变换定义式（8-1-4）进行复变函数积分，这就是通常所说的围线积分法或留数法。,本章开头曾指出拉氏变换主要应用于电路分析，求电路响应。由例8-2-5已看出，电路响应的变换式F（s）常具有有理函数的分式形式，即F（s）可表示为两个s的多项式之比，设其一般形式为,式中的系数ak和bk皆为实数，m和n为正整数。当mn时，F（s）为真分式。首先讨论F（s）为真分式的反变换的问题。,为便于分解，常将F（s）的分母多项式A（s）写作以下形式 式中p1，p2，pn为A（s）=0方程式的根，也即当s等于任一根值时，A（s）=0，F（s）将为无限大。因此将p1，p2，
9、pn称为F（s）的“极点”。,同理，F（s）的分子多项式B（s）也可改写为 式中z1，z2，,zm为B（s）=0方程式的根，称为F（s）的“零点”。,按照F（s）极点的形式不同，部分分式展开法有以下三种情况： 1.A（s）=0具有n个单实根，即F（s）只有单实极点 当A（s）=0为单实根时，F（s）可分解成如下形式：,即每个部分分式均以A（s）的一个因子作为分母，而式中K1，K2，Kn为待定系数。只要确定出系数Kk的大小，则各部分分式的原函数由表8-1查得一定是实指数形式。应强调的是，根据单边拉氏变换的定义，反变换在t0区域中恒为零，故所求得的反变换只适用于t0的情况，可以用（t）表示其存在区
10、间。,确定系数Kk的方法有多种，这里仅以最简单的代数方法分子恒等式法确定系数Kk。,因F（s）为实系数有理分式，所以当F（s）有复数极点时，必定成共轭对形式出现，也就是说，每有一个复极点p1=a+j0，必会有另一个共轭复极点p2=a-j0与之对应。这两个共轭极点一阶因子相乘之积是s的实系数二次多项式，即 ,2.A(s)=0含有共轭复数的单根，即F（s）含有共轭复数单极点。,一对共轭极点p1、p2，仍为单阶极点，故仍可应用第一种情况确定待定系数Kk，并得到复指数形式的原函数。,当A（s）=0只含有一个重根p1，即F（s）只含有一个阶重极点时，F（s）展开成部分分式的形式为：,3.A（s）=0含有
11、重根，即F（s）含有多重极点,阶极点的系数K11仍可用第一种情况：令s=p1从分子恒等式中直接确定，而各降阶极点的系数K12，K1则可应用例8-3-4中式、的方法，将K11值和随意令sp1的值代入分子恒等式，联立求解（-1）个关于K12，K1的一次方程组，便可得到各待定的部分分式的系数。,前面讨论的求拉氏反变换的三种情况，均限定F（s）为真分式。当mn时，F（s）称为假分式，此时应先用长除法将F（s）化为一个s的多项整式（商式）与一个真分式（余式）之和。其中真分式可应用前述的部分分式展开，而s的多项整式中：常数项的反变换是冲激函数，s及s的更高次幂的反变换则为冲激函数的各阶导函数。,8.4瞬态
12、电路的复频域分析法,8.4.1微分方程的拉氏变换解 8.4.2复频域电路模型 8.4.3复频域分析法举例,用拉氏变换分析法求取电路响应，可首先列写出描述电路响应与激励关系的时域微分方程，再对微分方程进行拉氏变换，得到复频域的代数方程。在复频域中通过代数运算得到响应的复频域解，最后将此解经拉氏反变换得到时域响应。,8.4.1微分方程的拉氏变换解,通常所说的复频域分析法即指这种改进了的方法。其主要特点是首先导出电路的复频域模型（也称S域等效运算电路），然后由复频域电路模型直接列写复频域代数方程，从而求得所需响应的变换式。,8.4.2复频域电路模型,所谓电路元件的S域模型，就是用电流和电压的象函数表
13、示电路元件的伏安关系。,1.电路基本元件的S域模型,图8-4-1电阻元件的时域和S域模型,（1）电阻元件的S域模型电阻元件在图8-4-1（a）所示的关联参考方向下的时域模型中，其伏安关系为： uR（t）=RiR(t)或iR(t)=GuR(t) 对以上两式分别取拉氏变换，由线性得 UR（s）=RIR(s)或IR(s)=GUR(s) (8-4-1) 式（8-4-1）即为电阻元件在S域的伏安关系，也称S域的欧姆定律。从而得到S域模型如图8-4-1（b）所示。,（2）电感元件的S域模型 动态元件电感在图8-4-2（a）所示的关联参考方向下的时域模型中，其伏安关系为 对上面两式分别取拉氏变换，由时域微、
14、积分性得 或 (8-4-2),图8-4-2电感元件的时域和S域模型,式(8-4-2)即为电感元件在S域的伏安关系。式中sL及 表征了电感元件在S域中的作用，分别称为S域感抗（或运算阻抗）及S 域导纳（或运算导纳）；LiL(0-)及 分别称为内电压源及内电流源，体现着电感L的初始储能作用。由式（8-4-2）可分别得到电感元件串联形式和并联形式的S域模型分别如图8-4-2（b）、（c）所示。显然图（b）和图（c）也可利用电压源与电流源的等效互换得到。,当电感无初始储能，即零初始状态iL(0-)=0时，式（8-4-2）可简化为 （8-4-3） 此时图8-4-2（b）、（c）中的内电压源短路、内电流源
15、开路，如图8-4-2（d）所示。,（3）电容元件的S域模型 动态元件电容的伏安关系在图8-4-3（a）所示的关联参考下，为 对上面两式分别取拉氏变换，由时域微、积分性质得 (8-4-4),图8-4-3电容元件的时域及S域模型,式（8-4-4）即为电容元件在S域的伏安关系。式中 称为S域容抗，CuC(0-)及 分别称为内电流源及内电压源。由式（8-4-4）可分别得到电容元件并联形式和串联形式的S域模型分别如图8-4-3（c）、（b）所示。,图8-4-3电容元件的时域及S域模型,当电容无初始储能，即uC(0-)=0时，式（8-4-4）简化为 (8-4-5) 此时的S域模型如图8-4-3（d）所示。
16、,图8-4-3电容元件的时域及S域模型,电感和电容元件串联形式的S域模型便于列写电压方程，适用于回路（网孔）分析法；而并联形式的S域模型便于列写电流方程，适用于节点分析法。当得到了电路元件的S域模型后，再将激励源f(t)通过拉氏变换用象函数F（s）表示，便可把整个时域电路模型变换成S域电路模型了。,在时域中，KCL和KVL的数学表达式分别为 利用拉氏变换的线性性质，对上式分别取拉氏变换即得 (8-4-6),2.基尔霍夫定律的S域形式,式(8-4-6)分别称为KCL和KVL的S域形式。它表明，在S域电路模型中，对于任一节点（或封闭面）流出（或流入）该节点的象电流的代数和恒等于零；对于任一回路，沿该回路绕行一周，各段电路象电压的代数和恒等于零。,既然KCL、KVL在S域电路模型中完全适用，那么由基尔霍夫定律导出来的电路分析的各种
