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1、1 河南省八市重点高中联盟河南省八市重点高中联盟“领军考试领军考试”2019 届高三第三次测评届高三第三次测评 理科数学试题理科数学试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得， 选 D 2.抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先将抛
2、物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为 2 的抛物线，写出其准线方程即可. 【详解】抛物线的标准方程为， 焦准距， 所以抛物线的准线方程为， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，在解题的过程中，注意首先需要将抛物线方程化为标 准形式. 3.己知复数，给出下列四个结论：； 的共轭复数 的虚部为 其中 正确结论的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得复数，据此分别计算和 的虚部即可确定所给的命题是否正确. 【详解】复数，故，不正确； ，正确； ，不正确； 的虚部为 ，不正确； 故只有正确故选 B 【点睛】本题主要
3、考查复数的运算法则，共轭复数的概念，复数的虚部等知识，属于基础题. 4.在中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平面向量基本定理分析求解即可. 【详解】由已知可得点是靠近点 的三等分点，又点 是的中点。 故选 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题. 5.“对任意的正整数 ，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 原不等式等价于，当时，成立，当 时，要使成立，只需成立，即，由此求得原不 3 等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件. 【详解】原不等式等价于
4、， 当时，成立， 当时，要使成立， 只需成立，即， 由，知最小值为 ， 所以， 所以或是原不等式成立的充要条件， 所以是原不等式成立的充分不必要条件， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求 解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键. 6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A. 84B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为 4，利用相关公式求得结果. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面
5、为正视图中的五边形，高为 4， 所以五棱柱的表面积为， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的求解问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，柱体的 4 表面积问题，属于简单题目. 7.已知函数是 上的单调函数，且对任意实数 ，都有，则（ ） A. 1B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 试题分析：因为函数是 上的单调函数，且，所以可设（ 为常数） ， 即，又因为，所以，令，显然在 上单调递增，且 ，所以，故选 C. 考点：1.函数的表示与求值；2.函数的单调性. 8.如图所示，点， 是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概 率为（ ） A. B. C.
6、D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据定积分求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】阴影部分面积为， 所以所求概率为，选 A. 【点睛】本题考查利用定积分求面积以及几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.已知一个高为 l 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 2 的等边三角形，内有 一个体积为 的球，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5 【解析】 【分析】 首先根据题意，确定出满足条件的球为该棱锥的内切球，利用相关公式得到结果. 【详解】依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大， 该三棱锥侧面的斜高为， ， ， 所以三棱锥的表
7、面积为， 设三棱锥的内切球半径为 ， 则三棱锥的体积， 所以，所以， 所以， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关几何体的内切球的问题,涉及到的知识点有椎体的内切球的半径的求法，对应的等 量关系式为大棱锥的体积等于若干个小棱锥的体积，从而建立其内切球半径所满足的条件，从而求得结果. 10.已知双曲线 C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分 别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= A. B. 3C. D. 4 【答案】B 【解析】 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角 三角形的条件，可以
8、确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果 是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离同时求得的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为， 可以得出直线的方程为， 6 分别与两条渐近线和联立， 求得， 所以，故选 B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎 么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程， 利用直角三角形
9、的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联 立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 11.己知函数的零点构成一个公差为 的等差数列，把函数的图像沿 轴向左 平移 个单位，得到函数的图像，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数B. 其图像关于直线对称 C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为 【答案】D 【解析】 试题分析：，函数图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等 差数列，故函数的最小正周期为，所以；函数图象沿 轴向 左平移 个单位得，故为偶函数，并在区间上为减 函数，所以 A、C 错误，所以 B 错误因为，所以， ，所以
10、D 正确 考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性 12.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ） A. -3B. -4C. -5D. 【答案】B 【解析】 【分析】 7 由题意可知函数在区间上单调递增，等价于在 上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果. 【详解】函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，其对称轴为， 当即时，在上恒成立等价于， 由线性规划知识可知，此时； 当即时，在上恒成立等价于， ，即； 当即时，在上恒成立等价于， 此时； 综上可知，故选 . 【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的
11、知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件， 二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_ 【答案】45 【解析】 试题分析：的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解之得， 所以的展开式的通项为，由得，所以展开 式的常数项为. 考点：二项式定理. 14.设变量满足约束条件：，则的最小值_ 8 【答案】-8 【解析】 画出可行域与目标函数线，如图可知，目
12、标函数在点(2，2)处取最小值8. 15.已知函数，若函数有三个零点，则 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出的零点，然后求出 f的值，作出函数的图象，利用数形结合以及排除法进行求解 即可 【详解】当时，由得，得 ， 当时，由得，得， 由得 ， 即， 作出函数的图象如图：， 当时，函数是增函数， 时，函数是减函数， 时，函数取得最大值：， 当时，即时，有 4 个零点； 当时，即时有三个零点； 9 当时，有 1 个零点； 当时，则有 2 个零点， 当时，即 时，有三个零点； 当，解得函数有三个零点， 综上，函数有 3 个零点 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出
13、函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关 键 16.三角形中，且，则三角形面积的最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，由，得 C 点轨迹为以为圆心，以 为半径的圆，可求三角形高为 时， 最大，即可得解. 【详解】设， 则由得， 化简得， 所以 点轨迹为以圆心，以 为半径的圆， 所以最大值为， 所以三角形面积的最大值为 . 【点睛】该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的 过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分
14、. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在公差不为 0 的等差数列中，成等比数列，数列的前 10 项和为 45 （1）求数列的通项公式； 10 （2）若，且数列的前项和为，求 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果， （2）利用裂项相消法求和. 【详解】(1)设等差数列的公差为 ， 由成等比数列可得，即， ， ，. 由数列的前 10 项和为 45，得， 即，故，. 故数列的通项公式为； （2）， 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然
15、后通过累加抵消中间若干项的方法， 裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和， 常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，平面平面 ABCD，点 F 为棱 PD 的中点 11 （）在棱 AB 上是否存在一点 E，使得平面，并说明理由； （）当二面角 D-FC-B 的余弦值为时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （）取的中点 ，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理， 即可
16、证得平面. （）以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向 量 ，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】 （）在棱上存在点 ，使得平面，点 为棱的中点 理由如下：取的中点 ，连结、，由题意，且， 且，故且.所以，四边形为平行四边形. 所以，又平面，平面，所以，平面. （）由题意知为正三角形，所以，亦即， 又，所以，且平面平面，平面平面， 所以平面，故以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 设，则由题意知， ， 设平面的法向量为， 12 则由得，令，则， 所以取，显然可取平面的法向量， 由题意：，所以. 由于平面，所以在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 易知在中，从而， 所以直线与平面所成的角为. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在
