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1、4.5 理想液体运动微分方程及积分,液体的运动规律涉及力，在研究理想液体运动时，首先要了解理想液体中的应力。因为理想液体没有粘滞性，所以液体运动时不产生切应力，表面力只有压应力，即动水压强。,理想液体的动水压强与静水压强一样亦具有两个特性：,(1)动水压强的方向总是沿着作用面的内法线方向；,(2)任意一点的动水压强大小与作用面的方位无关，即同一点上各个方向的动水压强大小相等。,4.5.1理想液体的运动微分方程,液体是一种物质，在运动过程中亦必须遵循牛顿第二定律。,下面应用牛顿第二定律建立理想液体的运动微分方程。,在理想液体流场中，任取一点,以 为中心，取微小平行六面体，如图4-24所示。,设液
2、体为均质，密度为,因为是理想液体，表面力只有动水压力。,六面体上形心点的压强仍采用泰勒级数并略去二阶以上小量而得。,根据牛顿第二定律，在轴方向，所有作用于六面体上的力投影的代数和应等于六面体的质量与加速度投影之乘积。,即,对单位质量而言，化简得,同理：,即为理想液体的运动微分方程，是由欧拉在1775年首先推导出来的，所以又称为欧拉运动微分方程。,它表示了液体质点运动和作用力之间的相互关系，适用于不可压缩的理想液体或可压缩的理想气体。,对前者密度 值为常量，而后者 值为变量。,对于静止液体，,即为液体的平衡微分方程，即欧拉液体平衡微分方程。,欧拉运动微分方程可写为,与连续性微分方程式,联合构成封
3、闭的方程组，结合具体问题的定解条件，才能求得不可压缩理想液体运动的解。,4.5.2 葛罗米柯（TpoMeko）运动微分方程,故,将上式代入,整理得：,因 ，,代入上式整理后得 ：,同理,若为恒定流，则,将以上条件代入,可化简为,同理可得：,4.5.3 理想液体运动微分方程的积分,其中， 称为势函数或力势函数，而具有势函数的质量力称为有势力，例如重力和惯性力。,因为恒定流时各运动要素与时间无关,等号右边可用行列式的形式来表示,该式是理想液体恒定流的能量方程。这个方程式是瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在1738年提出的，该方程又称为伯努利方程。,应用条件, 液体是不可压缩均质的理想液体，密
4、度 为常数；, 作用于液体上的质量力是有势的；, 液体运动是恒定流；, 行列式,因此,积分得,任意两点,4.5.4 绝对运动和相对运动的能量方程, 绝对运动的能量方程,绝对运动是指液流的固体边界对地球没有相对运动，作用在液体上的质量力只有重力而没有其它惯性力。,若质量力是有势的，则,故,称为不可压缩均质理想液体恒定流的绝对运动能量方程，又称为绝对运动的伯努利方程。, 相对运动的能量方程,相对运动是指液流沿固体边界运动的同时，固体边界相对于地球是运动的，例如水泵叶轮内水流的运动就是这种情况。,一方面液体在叶片之间由中心向外运动,右图为离心泵叶轮示意图。,另一方面叶轮以等角速度 绕中心轴作旋转运动
5、。,单位质量力的分量为,所以,积分得,整理得,即：,应用于同一条流线上的任意两点，则,即为相对运动的能量方程，它常用来分析流体机械，如离心泵及水轮机中的液体运动。,4.6 实际液体运动微分方程,在实际工程中，绝大部分液体运动其粘滞性是不能忽略的，因此，在本节将导出实际液体的运动微分方程。,4.6.1 液体质点的应力状态,在实际液体的流场中任取一点,由切应力互等定理可得,4.6.2 应力与变形的关系,实际上又代表了液体的切应变率（又称剪切变形速率或角变形率），即,将这个结论推广到一般的空间流动，称为广义牛顿内摩擦定律。,在 平面上的角变形速率为,因为 ，所以,则切应力,同理可得,平均值,三个互相
6、垂直方向的动水压强,对于不可压缩液体,4.6.3实际液体运动微分方程,在实际液体流场中，取一个以任意点 ，如下图所示。,沿 轴方向,现根据牛顿第二定律，,这就是以应力表示的实际液体运动微分方程。,可整理得：,这就是不可压缩均质实际液体运动微分方程。,如果液体为理想液体，上式即成为理想液体运动微分方程；如果是静止液体，上式即成为液体的平衡微分方程。,4.7 恒定平面势流,按液体质点有无转动，将液体运动分为有旋流和无旋流，无旋流又称为有势流。,严格地讲，只有理想液体的运动才有可能是有势流。,4.7.1流速势和等势线,在恒定有势流中必然存在流速势函数 ，对平面内的势流来说，且有,所以,流速势函数可表
7、达为下列积分,给出不同的常数值，可在势流场内得到一簇等势线。,平面流动的连续性方程为,可得到,可见流速势函数 满足拉普拉斯方程。,4.7.2 流函数及其性质,对于平面流动来说，流线的微分方程式为,当,则有,因为存在,可得流速场与流函数的关系式为,流函数存在的充分必要条件就是不可压缩液体的连续性方程，所以，不可压缩液体作平面连续运动时就有流函数 存在。,流函数有如下性质：, 同一条流线上各点的流函数为常数。, 平面势流的流函数是一个调和函数。, 两流线间所通过的单宽流量等于该两条流线的流函数值之差。,4.7.3 等势线与流线的关系,可得,则等势线上某一点的斜率为,在平面流场中，流函数为常数的线即
8、为流线，即,可得,在同一点上，流线的斜率为,因为,所以，通过平面势流中任意一点的等势线与流线是正交的。,4.7.4 流网及其绘制, 流网及其性质,流速势函数的等值线就是等势线，其方程式为,取 为不同常数（如 ， ）,可得到一簇等势线；,流函数的等值线亦为流线，其方程式为,这两组线形成的网格，就称为流网，如图4-30所示。,流网的性质如下：,（1）流网是正交网格。,（2）流网中每一网格的边长之比，等于流速势函数 与流函数 的增值之比。,（3）流网的每个网格均为曲线正方形，任意两条流线之间的单宽流量 为常数。,根据流函数的性质，不可压缩液体恒定平面流动中，任意两条流线之间所通过的单宽流量等于该两条
9、流线的流函数值之差，即,流场中的压强分布，可应用能量方程求得。,恒定平面势流中任何两点之间都满足能量方程：,整理可得，两点的压强差为, 流网的绘制,边界条件：有固体边界、自由表面边界、入流断面和出流断面边界等。,根据流网的性质，可得,=常数,流场中某点的速度为已知，就可由上式求得其它各点的速度。,由于势流是理想液体运动，液体质点在固体边界上允许有滑移，所以液体必然沿着固体边界流动。,固体边界是一条流线，等势线必须与边界正交。,固体边界上的流动条件，是垂直于边界的流速分量应等于零。,恒定流自由表面边界与固体边界的流动条件关系,相同点：,不同点：,（1）自由表面的压强一般是大气压强，这是它的动力学条件。,（2）固体边界的位置、形状为已知，而自由表面的位置、形状是未知的 。,因此，绘制有自由表面的流网比较复杂。,入流断面和出流断面的流动条件，有一部分应该是已知的，根据这些已知条件来确定断面上流线的位置。,用流网法求解恒定平面势流：, 用铅笔按一定比例绘出流动边界, 按照液体的流动趋势试绘流线；, 根据流网正交性绘出等势线，网格应绘成曲线正方形（个别网格除外）；, 修正初绘的流网，即检验流网的网格是否为曲线正方形。, 如果有自由表面，假定自由表面绘制 ，并用能量方程检验。,流网的网格绘得愈密，流网求解问题的精度愈高，但绘制的工作量也愈大。,
