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1、7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。离散时间系统：处理离散时间信号的系统。混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：连续信号离散信号数字信号取样量化三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)f(kT)，其中k为序号，相当于时间。例如：2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如：f(k)=1,0.5,0.25,0.125, 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信
2、号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：下图表示了的波形。这个函数与连续时间信号中的冲激函数相似，也有着与其相似的性质。例如：，。2、 单位阶跃函数：这个函数与连续时间信号中的阶跃函数相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。3、 单边指数序列：(a) (d) (b) (e) (c) (f) 比较：单边连续指数信号：，其底一定大于零，不会出现负数。4、 单边正弦序列：双边正弦序列：五、 离散信号的运算1、 加法：0时，信号向右移（后移）称为减序；当n称为增序。离散信号的移序计算相当
3、于连续时间信号的时间平移计算。六、 线性移不变离散时间系统1、 线性离散时间系统系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。2、 移不变离散时间系统 系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 3、 线性移不变离散时间系统同时满足线性和移不变性的系统。 七、 离散时间系统的描述方法：见7-3。7-2 抽样信号与抽样定理离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：1） 怎样进行抽样？2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？一、 抽样器及其数学模型抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续
4、信号中的很小的一段。其等效电路它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，其中的开关函数为：当时，开关函数近似为：可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即：这样，抽样以后的信号为： 显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。二、 抽样定理显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？1、 抽样信号的频谱：其中，称为抽样（角）频率；T称为抽样（取样）周期。可见，抽样后信号的谱是抽样以前的
5、谱按抽样（角）频率周期化的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱，抽样频率，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为、增益为T的ILPF，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:则这个定理称为Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率称为Nyquist抽样频率，或Shannon抽样频率。（a） 原信号 (b) 原信号的频谱（c）单位冲激序列 （d）单位冲激序列的频谱（）(e
6、) (f) 的频谱l 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相反：首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。l 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结果不变。l 恢复信号时，ILPF是不可能实现的，只能用其它的LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一般取的35倍。抽样信号经过非理想低通滤波器l 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquist抽样定理还可以做适当修改。l 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。l 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信
7、号，从而可以用数字信号处理系统进行处理，达到模拟信号处理无法达到的效果。e(t)r(t)A/D转换DSP处理D/A转换LPF滤波7-3 离散时间系统的描述离散时间系统的描述方法有三种：1） 数学模型差分方程2） 物理模型框图3） 系统函数Z.T.，在第八章中介绍。一、 数学模型离散时间系统处理的信号是离散信号，信号只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。例731例73-1 著名的斐波纳奇（Fibonacci）数列问题。假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会发生死亡。在最初一个月
8、内有一对大兔子，问第n个月时一共有几对兔子。这里，每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。解：这里，我们用表示第个月兔子的对数。显然，第个月兔子无论大小，在第个月都会是大兔子，从而在第个月中生出个小兔子；同时，因为假设兔子不会死亡，第月的对兔子在第月中依然存在，使第月中大兔子的个数为。而第月中兔子的总个数等于大兔子对数与小兔子对数之和，由此可以得到方程：这就是斐波纳奇（Fibonacci）数列问题的差分方程。与微分方程一样，对于差分方程，我们一般将其中的未知的函数或序列放在方程等式的左边，而将激励函数或数列等放在等式的右边。所以，可以将上式表示成：l 差分方程
9、与微分方程一样，也必须有初始条件。如果已知y(0),则可以得到差分方程的解：,l 差分方程也可以加激励：假设k年从外地引入x(k)个人，则：。例732例732 一个空运控制系统，它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度，另外用一雷达于以上计算同时对此飞机实测一次高度，把应有高度与一秒钟前的实测高度相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即米秒。求该问题的差分方程。解：从第k-1秒到第k秒这1秒钟内飞机升高为 经整理即得这就是表示控制信号与响应信号之间关系的差分方程，它描写了这个离散时间（每隔1秒钟计算和实测一次）的空运控制系统的工
10、作。差分方程的一般形式：l 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微分计算变成了移序计算；l 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最大移序与最小移序之差；l 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个数必须等于差分方程的阶数；l 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系统可以用一个常系数差分方程描述。l 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数值解，所以很多微分方程可以近似为差分方程求近似数值解。例733例733 一RC电路如图a)所示，若于输入端加一离散的抽样信号e(t)，如图 b)所示，现在要求写出描写此系统工作时每隔时间T输出电压与输入信号间的关系的差分方程。a) b)解：图 (b)所示
11、的抽样信号是一有始函数，它可以表示为如下冲激序列之和 现在来考察该电路在时的输出响应。当t由小于kT趋于kT而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。 由该时刻开始即tkT时的电容电压零输入分量显然应为 又可知此电路的冲激响应是 用在这里，则可得：当t=kT第k个冲激加于电路后即时，电容电压的零状态分量应为 于是得tkT后总输出电压为 当t=kT时，上式成为 经整理，并将记为一般形式，即得 这就是描述输出离散电压与输入抽样电压间关系的差分方程。例734例734 图所示一电阻的梯形网络，其中每一串臂电阻值同为R，每一并臂电阻值同为另一值，为某一正实数。所以这网络是一重复的梯形结构。该网络各个
12、节点对公共节点的电压为，分别为0、l、2、n。试写出这个系统的差分方程， 电阻的重复T形网络解：把系统中第个节点的电流关系特别画出如图所示。由图显然可见，；同时，根据图中电压电流的简单关系，此式即可写成 再经整理，即得该系统的差分方程二、物理模型与连续时间系统一样，离散时间系统也可以用框图的形式描述。1、 基本运算单元离散时间系统框图的基本运算单元有加法器、标量乘法器和延时（移序）器构成。 (a)初始条件为零 (b)初始条件不为零延时器2、 离散时间系统框图的构成离散时间系统框图构成与连续时间系统很相似，只不过将其中的积分器变成延时（移序）器。离散时间系统的初始状态可以包含在延时（移序）器中。
13、一阶离散时间系统的模拟框图n阶离散时间系统模拟框图例735 一离散时间系统由以下差分方程描写 试作出此系统的模拟框图。 解 辅助函数，就可看出 由此两式，读者可以很容易地自行证明，它们合起来等效于所给的差分方程。 对于本题的简单方程，可令kn-1，于是原方程成为 如y(k)为无限序列，k和n均为由-到的自然数，把此式中的n改为k，此式仍可成立。如y(k)为有限序列，则只要考虑到序列的起迄处有序数1的差别，上式中把n改成k亦可成立。于是有 如果另有一个系统的方程为 则读者可以自行证明，与此式相对应的模拟框图的结构仍同上图，但是要由第一个延时器之前引出,如图中虚线所示。7-4 离散时间系统的零输入响应离散差分
