自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第3章 时域分析法

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1、,第 3章 时域分析,3.1 时域分析及其特点 3.2 系统时域解的结构 3.3 连续信号与系统控制的时域分析 3.4 离散信号与系统控制的时域分析,3.1 时域分析法及其特点,3.1.1 什么是时域分析法(时域指标) 1. 什么是时域分析法 时域分析法包括信号的时域分析与系统的时域分析两部分。 信号的时域分析主要研究连续时间信号与离散时间信号的时域特性与卷积计算，本章在第1章的基础上进行分析与研究。 系统的时域分析是在系统数学模型已经建立的基础上，通过对系统微分方程或差分方程的精确求解，来研究系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和完全响应，并画出系统的输出响应曲线，分别对

2、连续系统与离散系统的稳定性、平稳性、快速性和稳态精度进行分析，是三大分析方法的基础；时域分析法又称为时间响应法。,2. 时域指标 时域指标是进行系统分析与综合的依据，可以通过时域指标来对系统性能进行比较，来对系统的校正与设计工作进行指导。 一般认为典型输入信号中的阶跃信号，在0时刻具有从无到有的变化，难以复现，如果系统在单位阶跃输入作用下的性能指标能满足要求，那么在其它典型输入作用下的性能指标也就能满足要求；而且阶跃信号作用的时间长，便于人们观察，因此常常通过阶跃信号作用下的系统阶跃响应来评价系统控制性能的好坏，来定义系统的时域性能指标。即在零初始条件下，控制系统的输入为单位阶跃信号时，系统响

3、应随时间变化的动态性能指标单位阶跃响应性能指标。,控制系统的单位阶跃响应（常以 表示）时域性能指标如图 3.1-1 所示。,由图3.1-1，我们可以定义系统的时域性能指标如下： 1) 延迟时间 ：定义为响应第一次从0上升到0.5倍稳态值所需的时间。 2) 上升时间 ：定义为响应从零开始上升至第一次达到稳态值所需要的时间；或者定义为单调上升响应过程从终值的0.1上升到终值的0.9所需的时间。 3) 峰值时间 ：定义为响应从零开始达到第一个峰值所需的时间。 超调量 ：定义为响应曲线中对终值 的最大超出量与终 值 之百分比。 (3.1-1) 5）调节时间 ：定义为响应到达并保持在终值附近的5%（或2

4、%）以内所需的最短时间。 即 ， 取 0.02或 0.05 。 6）稳态误差 ：定义为响应的终值与期望值之差。当输入为单位阶跃信号时，有 (3.1-2),由于时域分析法是基于系统微分或差分方程的精确求解来研究、分析系统，而系统的微分或差分方程又是系统最基本的数学模型，这不仅使得时域分析法成为了三大分析方法的基础，而且不受系统的时变、非线性等特性的约束，能够对非线性系统、时变系统、多维系统进行分析；时域分析法加上现代计算机的有效支持是控制理论向更高级阶段发展的有力工具；时域分析法的深入研究能够促进应用数学（偏微分方程）、计算机科学与技术等相关学科的发展。 同时，由于时域分析法是基于系统微分或差分

5、方程的精确求解来研究、分析系统的性能，必然导致求解过程的复杂化，尤其是对于高阶系统的精确求解将十分困难；因此，对于一般工程中存在的线性时不变（LTI）系统问题，时域分析法就明显不如频域分析法和复频域分析法简便、快速与实用。实际上，系统的时域分析大多限于一、二阶系统的研究。,3.1.2 时域分析法的主要特点,3.2 系统时域解的结构,3.2.1 自由响应与强迫响应 线性微分方程的解是由通解与特解两部分组成的，即 。 1. 齐次通解与自由响应（固有响应） 外作用为零时的微分方程为齐次微分方程，齐次通解即 齐次微分方程的解，代表系统的自由响应或固有响应。 线性微分方程的齐次通解是 的线性组合，其中

6、反映了 线性微分方程所描述运动的模态或振形，也就是说每一种模态代 表一种类型的运动形式。 例如特征根 为共轭复根时，对应的运动模态就具有 正弦振荡的形式。 则是由初始条件 ( t = 0+ ) 决定的常数(待定 系数)，若求解一个 n 阶线性微分方程，就必须要有n个初始条件。 往往把初始条件的确定问题称为微分方程的初值问题。,齐次通解 由微分方程的特征根决定。 表3-1 几种可能的特征根及其对应的齐次通解,表中的,均为待定系数。,图3.2-1 给出了时域经典法求解线性微分方程的流程，可供读者查阅文献时参考。,2. 特解与强迫响应 线性微分方程的特解则由外作用激励信号决定，具有与外作用激励信号相

7、应的形式，因此常把特解称为强迫响应。表3-2给出了几种激励信号及其对应的特解 当外作用激励信号（如(t)）使系统响应（含导数项）产生新的初始条件时，系统的初始条件 ( t = 0+ ) 就并非全由初始状态 ( t = 0 - ) 决定。也就是说：齐次通解的系数不仅与给定的系统初始状态 ( t = 0 - ) 有关，而且可能与外作用激励信号产生的新初始条件有关。因此，按照上述时域经典法求解线性微分方程，需要利用 0 - t 0+ 时，方程两边的奇异函数项具有对应关系的“奇异函数匹配法”来确定系统的初始条件，使求解过程比较繁琐，因此本书不做专门介绍。,图3.2-1 时域经典法求解线性微分方程的流程

8、,3.2.2 零输入响应与零状态响应,1. 系统的 初始状态与 初始条件 对于n阶系统，一般称 为系统的 初始 状态，称 为系统的初始条件。 在系统微分方程的时域经典解法中，需要采用初始条件来确定 齐次通解的待定系数。也就是说：系统的初始条件可以通过奇异 函数匹配法以及初始状态和外激励产生的零状态响应及其各阶导 数的初始值 共同确定。 显然，在时域经典解法中初始条件的确定需要大量计算工作， 使微分方程的求解过程过于繁琐。而在 s 域内的Laplace变换方 法，可直接利用LTI系统已知的初始状态求解微分方程，避免了 确定初始条件的繁琐计算（详见第5章）。,2. 零输入响应与零状态响应 所谓零输

9、入响应，是指外激励信号不作用时，仅由 LTI 系统的 0+初始条件所产生的响应。零输入响应的求解与齐次通解的方法 接近，都是解齐次微分方程，都要确定待定系数 ；区别在于： 齐次通解的 由初始状态和外激励共同确定，与外激励有关； 而零输入响应的 则直接由初始状态确定，与外激励无关， 这使得零输入响应的求解相对容易一些。 所谓零状态响应，则是指LTI系统的0- 初始状态为零时，仅由 外激励信号所产生的响应。 将0- 初始状态与外作用激励信号对系统的影响分开研究，即 将系统的完全响应分解为零输入响应与零状态响应之和，则系统 的零状态响应可以通过卷积积分法求解，使得线性微分方程的求 解过程相对简捷一些

10、。,3.2.3 瞬态响应与稳态响应,所谓瞬态（或暂态）响应是指t 时，在LTI系统的完全响应中，逐渐趋于零的那部分响应分量。 所谓稳态响应则是指t 时，在LTI系统的完全响应中，仍然存在的那部分响应分量。 瞬态（或暂态）响应由“零输入响应”和“零状态响应的瞬态分量”两部分组成 LTI稳定系统的时域解结构如图3.2-2所示。,需要指出：只有在 LTI 系统稳定的前提下，线性微分方程的通解所对应的自由响应才能随着时间的推移最终趋向于零，这时才能称自由响应为暂态响应，称强迫响应为稳态响应。,连续时间指数信号，简称指数信号， 其一般形式为,根据式中 A 和 s 的不同取值，具体有下面三种情况： (1)

11、 若 A = a1和 s = 均为实常数，则 f (t) 为实指数信号,3.3 连续信号与系统控制的时域分析,3.3.1 连续信号的时域分析 1. 连续时间基本信号 1）指数信号,(2) 若A=1，s=j，则 f (t) 为虚指数信号，即,根据欧拉公式， 虚指数信号可以表示为,表明 e j t 的实部和虚部都是角频率为 的正弦振荡。显然，e j t 也是周期信号，其周期 T = 2/|。,(3) 当 A 和 s 均为复数时， f (t) 为复指数信号。 若设 A= |A| e j，s =+j，则 f (t) 可表示为,图3.3-2 复指数信号,的实部的波形,（发散振荡),(等幅振荡),(衰减振

12、荡),2）采样信号 采样信号的定义式为： 采样信号的性质：,图3.3 3 采样信号的波形,3）单位门信号 单位门信号的定义式为： 显然,2. 卷积积分,1） 卷积的定义,设 f1(t) 和 f2(t) 是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号，我们将积分,(Convolution)， 简记为 ，即,定义为 f 1(t) 和 f 2(t) 的,式中，为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。,卷积,2）卷积积分的图解法 卷积积分的图解法可以分五步完成。 第一步：换变量 将 和 换成 、 ，并画出波形。 第二步：翻转（反折） 将 翻转成 的波形。 第三步：分段平移将 波形沿 轴平移 t ，

13、得到 的波形，一般使 与 的波形从无重叠有重叠无重叠。在 中， 为卷积积分的自变量，t 为卷积过程中的参变量， 的波形随参变量 t 的变化而移动。 第四步：分段相乘 一般按照重叠面积随参变量 t 的变化而增多、不变或减少的趋势将 与 分段相乘，分段得到卷积积分中的被积函数； 第五步：分段求积分 一般按照重叠面积随参变量 t 的变化而增多、不变或减少的趋势来分段并计算 与 的重叠面积，最后得到卷积信号 的分段表达式与整体波形图。,图3.3-5 用卷积积分的图解法求解例3.3-1,第二步将 翻转为 的波形，如图3.3-5 c. 所示 第三步分段平移，t -1时平移信号 的波形，如图3.3-5 d.

14、 所示。 当 -1 t 1 时， 与 的重叠面积随参变量 t 的增加而从零开始增 多，如图3.3-5e. 所示。 当1 t 2 时， 与 的重叠面积随参变量 t 的变化而保持不变，如 图3.3-5f . 所示。 当2 t 4时， 与 的重叠面积随参变量 t 的变化而减少至零，如 图3.3-5g. 所示。 第四步将 与 分段相乘，分段得到被积函数均为 = 1。 第五步分段求积分。 当-1 t 1时，重叠面积增多，积分下限为 波形的起始值0，积分上限 为1+ t ，即 当 1 t 2时，重叠面积不变，积分下限为t-1，积分上限为t +1，即 当2 t 4时，重叠减少，积分上限为 波形的终止值3，下

15、限为t-1，即,可得 的分段表达式与整体波形图分别如下：,的分段表达式为,3.3.2 用卷积积分法求零状态响应,用卷积积分法求解LTI系统零状态响应的基本思想是： 以单位冲激信号作为基本信号，将连续信号 f (t) 分解为众多 冲激信号单元的线性组合；通过求解系统在基本信号(t) 激励下 的零状态响应，最后利用 LTI 系统的线性叠加特性，导出激励下 系统的零状态响应。,1. 连续信号 的分解,任一连续信号f (t)与单位冲激信号(t) 卷积运算的结果等于信号 f (t) 本身，即,式中，,是,单位冲激信号，,可以看作,时的冲激取样值(,的加权系数)，,处的,在,积分号,代表,求和,运算。,即,视 f (t),众多基本信号,为,的线性组合(见图1.1-19 )。,图1.1-19 f ( t ) 分解为冲激