任兴民 秦卫阳 第9章

《任兴民 秦卫阳 第9章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《任兴民 秦卫阳 第9章（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,西北工业大学,主编 朱西平 任兴民 秦卫阳 编者 朱莹莹 张 娟 杨永锋 黄金平 邓长华 何 为 秦 洁 卜凯旗,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,9.1 引 言,9.2 自激振动,9.3 参数激振,9.4 弗洛凯理论,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,9.1 引 言,9.1 引 言, 自激振动是工程中除自由振动和受迫振动之外大量存在的另一种振动形式。 自激振动靠系统外的来源补充能量，但区别于受

2、迫振动的是，自激振动的能源是恒定的。 系统依靠自身运动状态的反馈作用调节能量输入，以维持不衰减的持续振动。 振动的频率和振幅均由系统的物理参数确定，与初始条件无关。, 自激振动,第9章 自激振动与参数激振, 参数振动由外界的激励产生，但激励不是以外力形式施加于系统，而是通过系统内参数的周期性改变间接地实现，产生参数振动的系统称为参变系统。 系统在参数激励下所产生的响应有时可能很微弱，但当激励频率远离系统的自然频率时，也可能产生大的响应，称为参数共振。, 参数振动,9.1 引 言,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,9.2 自激振动,9.2 自 激 振 动,普通的机械钟的运动是典型的自激振

3、动。振动系统是带干摩擦的重力摆，恒定的能源是发条机构，调节器是特殊设计的擒纵机构。这种机构能保证摆在指定位置受到由发条带动的齿轮的冲击。, 自激振动实例,例如当摆向左运动经过图9-1所示的虚线位置x =时，受到来自发条能源的与摆方向一致的冲击，冲击的结果使摆获得能量增量E。同样，当摆向右经过位置x =时，也受到与运动方向一致的同样大小的冲击。发条能源以这种方式不断向摆补充因干摩擦而损耗的机械能。,图9-1 时钟的简化模型,9.2 自 激 振 动,当 y0时是以 (F,0)为圆心的圆，y0时，是以 (F,0)为圆心的圆。设相点从起始位置(,0)开始向下方运动（图9-2），相轨迹方程为,（9-1）

4、, 受干摩擦作用的单摆微幅振动的相轨迹,9.2 自 激 振 动,图9-2 钟摆运动的相轨迹,从而导出受冲击后摆的速度,冲击后，相点从 沿半径增大了的圆继续运动， 相轨迹方程为,（9-4）,（9-5）,9.2 自 激 振 动,在平面 上作曲线（9-7）及直线 （图9-3），此二曲线的交点P 的坐标为,若相点 从点出发运动，则绕原点一周后必回至 原处，形成孤立的封闭相轨迹，即极限环。,9.2 自 激 振 动,（9-8）,图9-3 稳定极限环的存在性,图9-5 始终的能量-振幅关系,图9-4 始终的极限环,9.2 自 激 振 动,从8.3的讨论中，我们得知Van der Pol方程,令 ，则极限环的

5、几何形状取决于非线性参数 的大小。, 自激振动定性分析,可以产生稳定的极限环。, 当足够小时，系统接近线性，零斜率等倾线与 y 轴接近重合，极限环的形状接近于圆形，自激振动接近于简谐振动，可称为拟简谐振动。, 随着 的增大，极限环逐渐歪扭，自激振动的波形逐渐偏离简谐振动，甚至接近于断续曲线（图9-6）。,9.2 自 激 振 动,（9-9）,9.2 自 激 振 动,图9-6 拟简谐振动与张弛振动,当 时， (, y)相平面内除了零频率等倾线上各点的斜率为零外，向量场的每一点的斜率都接近于无穷大。,因此，极限环只能由零斜率等倾线的一部分与两条垂直线组成，而具有图9-7所示的形状。相 应的 y波形为

6、断续的，波形为锯齿形。这种与简谐振动完全不同的周期运动称为张弛振动。, 讨论 的极限情形。引入新的变量 ，方程上式可化为,（9-10）,9.2 自 激 振 动,图9-7 张弛运动的极限环,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,9.3 参数激振,9.3 参 数 激 振, 带运动支承的单摆,摆长为 l 的轻杆，一端连 接质量为m 的质点，另一端A 固结在作已知运动的基础上， 如图9-8所示。由动量矩定理得,（9-11）,图9-5 带运动支承的单摆,这是线性变系数的非齐次方程。如果 y(t)和 x(t)是时间 t 的以T为周期的周期函数，即y(t+T)=y(t), x(t+T)=x(t)，则式（

7、9-7）就是有名的希尔方程。,设 ，即基础在铅直方向作简谐运动，方程（9-12）化为,（9-12）,方程（9-11）是变系数的非线性非齐次微分方程。如果单摆在平衡位置=0 附近作小振动，则上式简化为,9.3 参 数 激 振,若再令 t = 2 ，则 ，然后用 x 代替 ，用t 代替则上式变为,这个线性周期系数的齐次微分方程就是有名的马休方程，它是希尔方程的特例，其中参数,（9-13）,对于倒立摆，以上平衡位置为=0 的位置，其运动方程与（9-13）一样，但参数变为,9.3 参 数 激 振,其中T 为周期函数(t)的周期。设（9-15）有周期解, 周期解的稳定性。,设非线性微分方程为,（9-15

8、）,9.3 参 数 激 振,（9-16）,将（9-17）代入方程（9-15），并注意到(t) 是方程的解，则得到,其中 f ()， g ()为函数 f 和 g 对 x 的一阶导数， f ()， f ()和 g ()均是周期函数，且周期为 T 。因此，扰动方程（9-18）也是具有周期系数的微分方程。,显然，若方程（9-18）的解(t)有界，则周期解 x=(t)是稳定的；如果方程（9-18）的解无界，则周期解x=(t) 是不稳定的 。,（9-18）,9.3 参 数 激 振,例9-1 考察Van der Pol方程 周期解 的稳定性。,解：令 代入方程得,这显然是具有周期系数的线性微分方程。如果它的

9、解(t)有界，则 是稳定的，否则就是不稳定的。,9.3 参 数 激 振,工程振动基础,第9章 自激振动与参数激振,9.4 弗洛凯理论,9.4 弗洛凯理论,考察希尔（Hill）方程,其中 p ()是 的连续实周期函数，周期为 ，方程（9-19）至少存在一个正规解x () ， 它对恒有,其中是某个适当的复常数，称为特征乘数。,则对于m个周期时，有,（9-19）,（9-20）, 从弗洛凯理论来研究线性周期系数微分方程解的稳定性,因此根据的模可以判断零解的稳定性：,：稳定,：不稳定,：临界情况,若为实数，则临界情况 =1对应于周期解。 = +1 时周期为 ， = -1时周期为2 。,9.4 弗洛凯理论

10、,事实上，设方程（9-19）有实解基 x 1()与 x 2() ，满足以下初始条件,那么因为 p (+) = p () ，所以 x 1(+)与 x 2(+)也是方程（9-19）的解，且可表为,其中 是不全为零的实常数。由（9-22）并利用（9-21），可知,任何正规解x () 都可表为,（9-21）,（9-22）,（9-23）,9.4 弗洛凯理论,其中a1与a2 是不全为零的复常数，于是x (+)= x() ，如果，则由（9-22）与（9-24）并利用（9-23），可得,（9-24）,9.4 弗洛凯理论,这样， 必须是二次方程（9-26）的根。反之，如果 是这方程的一个非零根，则由上述步骤返回

11、至（9-24），就得到正规解下面可以看到，,即方程（9-26）无零根。因此方程（9-19）总存在正规解。事实上，方程（9-19）的解基 x 1()与 x 2()的朗斯基行列式等于常数，即,常数,这是因为,9.4 弗洛凯理论,因此,方程（9-26）可以写成,其中 a是某个实常数，依赖于函数 p ()中的参数。,因为1 2=1 ，如果 与 中有一个大于1或小于1，方程（9-19）必存在无界解。只有,方程（9-19）的所有解才可能是有界的。,（9-27）,（9-28）,如果方程（9-27）的二根 1与 2相异，那么存在二个线性独立的正规解。把它们作为方程（9-19）的解基，就可反映出方程（9-19）

12、的所有解的性质。,9.4 弗洛凯理论,所以只有 a21 ，才有式（9-28）的情形。,因为,（9-28）,当a2 =1，方程（9-27）的二根相等，即1 =2=1 或1 =2=1 。这时方程（9-19）一般只存在一个正规解，周期为 或 2 的周期解；另一个解一般是无界的。所以只在特征乘数非实的情形，方程（9-19）的所有解才是有界的。,9.4 弗洛凯理论,（9-29）,正规解还可表示成解析的形式。因为 一般是复数，可以写成,其中为特征指数。它仍然依赖于函数中p () 的参数。显然在相差一个i2n 因子的范围内惟一确定。将（9-20）乘以 并利用（9-30），就有,（9-30）,9.4 弗洛凯理

13、论,利用（9-30），方程（9-27）可以写成,因此=0 或为整数这样也有三种情形分别与稳定、不稳定以及边界情形相对应。,（9-30）,（9-27）,9.4 弗洛凯理论,（9-32）,根据上面的讨论，马休方程必存在正规解 ，因为马休方程的系数是偶函数，因此 也是解。在非边界情形，这二个解是线性独立的。事实上,当 的比不是常数，所以是线性独立的。把它们作为马休方程的解基，可以反映出一般解的性质。,9.4 弗洛凯理论,现在根据的三种不同情形，分别讨论如下：,0 ,为整数。这时二个正规解中有一个无界，即系统的平衡状态不稳定。, =0 ,不是整数。,所以 =0 ,在不是整数的情形，解都是有界的，系统的平衡状态是稳定的。, 设*是有理数，这时方程的解是周期为2s 的周期函数。 设为*无理数，则方程的解将是振动的，但不是周期的，因为存在着两个不可通约的频率的振动。,9.4 弗洛凯理论,0时，边界上的另一个解则是无界的。所以在边界情形，系统的平衡状态也是不稳定的。,9.4 弗洛凯理论,谢谢大家,