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1、三角形的黄金分割线如图1，点C将线段AB分成两部分，如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是ABC的黄金分割线。你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图
2、3），则直线EF也是ABC的黄金分割线。请你说明理由。（4）如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线。请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过ABCD各边黄金分割点 好评率：80%解：（1）对的，设三角形ABC中AB上的高为h，则SADC:SABC=1/2*AD*h：1/2*AB*h=AD:AB根据已知D为AB的黄金分割点SADC:SABC=AD:AB=0.618：1（2）不对，因为中线将三角形分成两个三角形，他们的高相等，底边长也相等，面积为1：1，则分割出来的三角形面积与原来大的三角形面积比为1：2，不等于黄金分割比例
3、。（3）设DE=x，设AB=a，三角形ABC的高为h，则AD=0.618a因为DFCE，则AEFADF则ADF中AD上的高：AEF中AE上的高=AD:AE=0.618a+x则ADF中AD上的高=0.618a/(0.618a+x)*h则SAEF=1/2*AE*ADF中AD上的=1/2*(0.618a+x)*0.618a/(0.618a+x)*h=1/2*0.618a*h则SAEF：SABC=1/2*0.618a*h：1/2*a*h=0.618:1 为黄金分割比例（4）过E点任作一条直线交DC于点M，再过点F作直线FNEM，交AB于点N，连接MN（图略），则直线EF也是ABCD的黄金分割线。可以证明：因为EFAD，则AE:AB=Df:DC=0.618:1，设AB=a，则AE=Df=0.618a设ABCD的高为h，则面积之比为 AE*h:DC*h=0.618：1设EN=x，则因为FNEM，四边形ENFM是平行四边形，有MF=EN，则梯形ANMD的面积=1/2*(DM+AN)*h=1/2*(DF-X+AE+X)*h=AE*h则面积之比为：AE*h：AB*h=AE:AB=0.618:1
