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1、,2. 概率论与数理统计 宗序平，机械工业出版社,参 考 书,1.概率论复旦大学 编 高等教育出版社,教材：概率论与数理统计教程 茆诗松等 高等教育出版社,教学要求,y Cell Phone:13665240513,Email:,Zong Xuping 宗序平,国内有关经典著作,国外有关经典著作,序 言,?,概率论与数理统计 是研究什么的？,概率统计是研究随机现象及其,规律性科学。 理论严谨, 应用广泛,发展迅速. 不仅高等学校各专业都,此课程被教育部定为本科生考研的,数学课程之一，希望大家能认真学,好这门不易学好的重要课程.,开设了本课程, 而且在上世纪末，,无序隐有序，,悟 道 诗,严加安
2、,随机非随意，,概率破玄机。,统计来解迷。,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,在我们所生活的世界上,充满了不确定性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏,到复杂的社会现象;从婴儿的诞生,到世间万物的繁衍生息;从流星坠落,到大自然的千变万化,我们无时无刻不面临着不确定性（随机性）.,从亚里士多德时代开始，哲学家们就,已经认识到随机性在生活中的作用，他,们把随机性看作为破坏生活规律、超越,了人们理解能力范围的东西. 他们没有,认识到有可能去研究随机性，或者是去,测量不定性.-不可知论的起源。,将不确定性（随机性）数量化，尝试研,究随机现象，是直到20世纪初叶才开始
3、,的。还不能说这个努力已经十分成功了，,但就是那些已得到的成果，已经给人类,活动的一切领域带来了一场革命。,本学科的 ABC,概率 随机事件出现的可能性大小的度量, 其起源于博弈问题.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,第二次世界大战军事上的需要
4、以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,
5、1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间,序列分析方法非常有用;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,可夫过程 来描述;,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流行问,题要用到多变量非线性生灭过程；,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,装卸、机器维修、病人候诊、存货控
6、制、,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,识就是 排队论.,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率,统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace),说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数,在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,“ 得 分 问 题 ”,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷,硬币作
7、为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，,甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部,赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就,分别达到规定分数时，发生了意外使赌局,不能进行下去，问如何公平分配赌注？,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算 概率的统计定义 概率的公理化定义与性质 条件概率与事件的独立性 全概率公式与Bayes公式 Bernoulli概型,1.1 随机事件及其运算,确定性现象 在一定的条件下, 发生结果只有一个的现象,一、随机现象与随机事件,随机现象 在一定的条件下, 或发生这样的,结果,或发生那样的结果,即发生的结果有多种可能性,I.
8、 自然现象,I. 自然现象,II.随机试验,III.随机事件,B. 太阳每天从东方升起；,C. 异性电荷必然互相吸引.,A. 在标准大气压条件下，温度达到100度的 纯水必然沸腾；,确定性现象 在一定的条件下, 发生结果只有一个的现象,随机现象 在一定的条件下, 或发生这样的结,A. 抛一枚质地均匀的骰子所出现的点数；,B. 某电话台每小时内接到的呼唤电话数;,C. 明天的最高温度；,D. 新生婴儿的体重;,E. 抛一枚质地均匀的硬币.,果,或发生那样的结果,即发生的结果有多种可能性,例14 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。,上述试验具有如下共性：,例11 T1: 掷一枚质地均匀的硬
9、币，观察其出现正面还是反面。,例12 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。,例13 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。,通常用T表示，举例如下：,对某事物特征进行观察, 统称试验.,II.随机试验,随机事件：随机试验的结果，称为随机,试验的可能结果不止一个, 但事先能明确所有可能发生的结果；,试验前不能预知出现哪种结果;,称此试验为简单随机试验，简称随机试验。,可在相同的条件下重复进行；,定义:若试验满足,事件，简称为事件。用大写字母A，B，C等 表示.,III.随机事件,例12 中，“出现偶数点”是随机事件；,例14中，“所取灯泡的寿命不超过100小时”,注：一定条
10、件下必然发生的事件称为必然,例12 中，事件“出现偶数点或奇数点”是必然事件, =1, 2, , 6.,事件，用表示。,例12 中，“既不出现偶数点又不出现 奇数点”，这样的事件为不可能事件。,概率论是通过随机事件来研究随机现象及规律性的。,注：一定条件下必然不发生的事件称为不,可能事件，用 表示。,II.随机试验,III.随机事件,一、随机现象与随机事件,确定性现象,随机现象,I. 自然现象,二、样本空间,样本点: 试验的每一个可能发生的结果称为一个样本点,记为.,样本空间：随机试验的所有可能结果 组成的集合称为样本空间，记为。,例11 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。
11、 例12 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。 例13 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。 例14 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。,样本空间,有限样本空间,无限样本空间,可数样本空间,不可数样本空间,注1：样本空间可以由数组成，也可以不是数组成；,注2：最简单的样本空间由两个样本点构成；,注3：随机事件是由若干个样本点组成集合；,注4：仅由一个样本点组成的子集,它是随机试验的直接结果。每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件,也记为。,事件,复合事件：由至少两个样本点组成集合,基本事件,注5：必然事件是由全体样本点组成集合；,不可能事件，用 表示，它是空集
12、。,A,随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算,文氏图 ( Venn diagram ),三、事件的关系和运算, A 包含于B,事件 A 发生必 导致事件 B 发生,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,A,B,或,事件 A与事件B 至 少有一个发生,的和事件 ,的和事件 , A 与B 的和事件,3. 事件的并(和),发生,或AB,事件 A与事件B 同时 发生,发生,的积事件 ,的积事件 , A 与B 的积事件,4. 事件的交(积),AB= A 与B 互不相容,A、 B不可能同时发生,两两互不相容,两两互斥,5.互不相容事件 (互斥), A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一
13、个发生,A,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念,6.对立事件,A-B发生, 事件 A 发生，但 事件 B 不发生,7. 事件的差,思考：何时A-B= ? 何时A-B=A？,(1) A-B =,A-B A 与B 的差事件,8. 完备事件组,若 两两互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分.,空间、全集 空集 全集中的元素 的子集 集合A包含于B 集合A与B相等 集合A与B的并 集合A与B的交 集合A的余集 集合A与B交为空 集合A与B的差集,A=B A-B,集 合 论,概 率 论,记 号,事件的运算,1、交换律：A
14、BBA，ABBA,2、结合律：(AB)CA(BC) (AB)CA(BC),3、分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC),4、德摩根(De Morgan)律：,规律：,A、B、 C 的运算关系表示下列事件：,例1.5：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用,(4),例1.6 设一个工厂生产三个零件，记A=“第一个零件为正品”， B=“第二个零件为正品”， C=“第三个零件为正品”，试用事件表示： （1）没有一个零件为次品； （2）只有A零件为次品； （3）恰一个零件为次品； （4）至少有一个零件为次品；,解（1） ABC,(2),
15、(3),四、事件域与示性函数,集类：若干事件的集合称为集类。,域：若集类为若干事件组成的集类，,满足,1) .,则称为域或代数。,2)若A ,则,.,3)若,则,，,.,根据上述定义，不难得到如下性质,若为样本空间的所有子集构成的事件域，则显然其,即若为域，则中事件的和、差、积等运算,仍落在中。,证明：,分两个步骤：,有,因此Borel集B中包含了一切开区间、闭区间、半开区间、实数单点集，以及由它们经过并、交运算而得到的集合。这是一个相当大的集类。,域，称之为n维Borel集，记为n 。,例18 如果事件类满足,则称为布尔代数。,这些结果由读者自己验证,显然，布尔代数对于有限事件的和、差、积等运算是封,闭的。若为域，则必为布尔代数反之未必成立.,示性函数,（2）,（3）,（4）,（5）,(3),(2),的充分必要必要条件是,总 结,四、事件域与示性函数,I.自然现象 II.随机试验 III.随机事件,一、随机现象与随机事件,二、样本空间： 样本点，样本空间，样本空间的类型,三、事件之间关系与运算：8种,
