2019年南通市高三数学第三次模拟试卷含答案解析

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1、1 2019 届江苏省南通市高三阶段性学情联合调研数学（理）试题届江苏省南通市高三阶段性学情联合调研数学（理）试题 一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1.已知集合 A=1，3，5，B=2，3，则集合 AB 中的元素个数为_ 2.已知复数 z=a+3i（i 为虚数单位），若 z2是纯虚数，则实数 a 的值为_ 3.已知双曲线 C：x2-y2=1，则点（4，0）到 C 的渐近线的距离为_ 4.设命题 p：x4；命题 q：x2-5x+40，那么 p 是 q 的_条件（选填“充分不必要”、“必要不充分” 、“充要”、“既不充分也不必要”） 5.函数 f（x）=的定义域为_ 2 6.

2、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，则 A=_ = 3， = 6， = 3 7.设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和为 Sn，若 a4+a10=0，2S12=S2+10，则 d 的值为_ 8.如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积 为_ 9.已知函数 f（x）=sinx（x0，）和函数 g（x）= tanx 的图象相交于 A，B，C 三点，则ABC 的面积 1 3 为_ 10. 设 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 若 m，m，则 ； 若 m，m，则 ； 若 m，mn，则

3、 n； 若 m，则 m 其中的正确命题序号是_ 11. 设 x0，y0，向量 =（1-x，4）， =（x，-y），若 ，则 x+y 的最小值为_ 12. 已知函数 f（x）=ex-e-x-2x，则不等式 f（x2-4）+f（3x）0 的解集为_ 13. 已知函数，若函数 g（x）=f（x）-a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 () = |(1)|, 1 21+ 1, 1 ? _ 14. 已知直线 l：y=kx+3 与圆 C：x2+y2-2y=0 无公共点，AB 为圆 C 的直径，若在直线 l 上存在点 P 使得 ，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是_ = 1 二、解答题（本大题共

4、 10 小题，共 120.0 分） 2 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点 (3 5 ， 4 5) （1）求的值； ( + 3) （2）若角 满足，求 cos 的值 ( + ) = 5 13 16. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 AA1B1B 为菱形，且A1AB=60，AC=BC，D 是 AB 的中点 （1）求证：BC1平面 A1DC； （2）求证：平面 A1DC平面 ABC 17. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆 E 经过点 ： 2 2 + 2 2 = 1(0) 1( 3，0)，2( 3，0) (

5、 3， 1 2) （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设点 M 是椭圆 E 上位于第一象限内的动点，A，B 分别为椭圆 E 的左顶点和下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点 C，直线 MA 与 y 轴交于点 D，求四边形 ABCD 的面积 3 18. 某海警基地码头 O 的正西方向 30 海里处有海礁界碑 A，过点 A 且与 AO 成 60角（即北偏东 30）的直 线 l 为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）在码头 O 的正西方向且距离 O 点 12 海里的领海 海面 P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从 O 处即刻出 发若巡逻艇以可疑船的航速的

6、倍（1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航 向航速，将在点 Q 处截获可疑船 （1）若可疑船的航速为 10 海里/小时，=2，且可疑船沿北偏西 30的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功 拦截可疑船所用的时间 （2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求 的最小值 19. 已知函数 f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b 为常数） （1）若 a=1，b=3 求函数 f（x）在区间-4，2上的最大值及最小值 4 若过点（1，t）可作函数 f（x）的三条不同的切线，求实数 t 的取值范围 （2）当 x1，4时，不等式 0f（x）4x2恒成立，求 a+b 的取值范围 20. 已知

7、正项等比数列an的前 n 项和为，且 a3=a2+2，a2a4=16数列bn的前 n 项和为 Tn，且 ( ) 1= 1， + 1= ( + 1)+ ( + 1) 2 ( ) （1）求数列an的通项公式及其前 n 项和 Sn； （2）证明数列bn为等差数列，并求出bn的通项公式； （3）设数列，问是否存在正整数 m，n，l（mnl），使得 cm，cn，cl成等差数 = = 1 ( + 1+ 1) ( + 1)( + 2) 列，若存在，求出所有满足要求的 m，n，l；若不存在，请说明理由 21. 选做题已知二阶矩阵 M 属于特征值 3 的一个特征向量为，并且矩阵 M 对应的变换将点（- =1 1

8、 1，2）变成点（9，15），求出矩阵 M 22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 =2sin，直线 l 的参数方程是（t 为参数）设直线 l 与 x 轴 = 3 5 + 2 = 4 5 ? 的交点是 M，N 是曲线 C 上一动点，求 MN 的最大值 5 23. 某市有 A，B，C，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率为 ，游览 B、C 和 D 2 3 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立 1 2 （1）求该游客至多游览一个景点的概率； （2）用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X） 24. 已知抛物线 C：y2=2p

9、x 经过点 P（1，2），过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （）求直线 l 的斜率的取值范围； （）设 O 为原点，=，=，求证： + 为定值 1 1 6 答案和解析答案和解析 1.【答案】4 【解析】 解：集合 A=1，3，5，B=2，3， AB=1，2，3，5， 集合 AB 中的元素个数为 4 故答案为：4 利用并集定义直接求解 本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.【答案】3 【解析】 解：z=a+3i，z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai， 由

10、z2是纯虚数，得，解得：a=3 故答案为：3 由已知求得 z2，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3.【答案】2 2 【解析】 解：双曲线 C：x2-y2=1 的渐近线方程为 xy=0， 点（4，0）到 C 的渐近线的距离为 d=2 故答案为：2 求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题 4.【答案】充分不必要 【解析】 解：命题 q：x2-5x+40x1，或 x4， 命题 p：x4； 故 p 是 q 的：充分不必要条件， 故答

11、案为：充分不必要 求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案 本题考查的知识点是充要条件，不等式的解法，难度中档 5.【答案】e2，+） 【解析】 7 解：要使 f（x）有意义，则：lnx-20； xe2； f（x）的定义域为：e2，+） 故答案为：e2，+） 可以看出，要使得函数 f（x）有意义，则需满足 lnx-20，解出 x 的范围即可 考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义 6.【答案】 5 12 【解析】 解：， 由正弦定理，可得：sinB=， bc，B（0，）， B=， A=-B-C=-= 故答案为： 由已知利用正弦定理可得 sinB 的值，根据大边对大角，特

12、殊角的三角函数值可求 B 的值，根据 三角形内角和定理可求 A 的值 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7.【答案】-10 【解析】 解：由 a4+a10=0，2S12=S2+10， 可得，解得 d=-10， 故答案：-10 由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题 8.【答案】 1 3 【解析】 8 解：由题意可知四棱锥 A1-BB1D1D 的底面是矩形，边长：1 和， 四棱锥的高：A1C1= 则四棱锥 A1-BB1D1D 的

13、体积为：= 故答案为： 求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积 本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键 9.【答案】 2 3 【解析】 解：根据题意，令 sinx=tanx，即 sinx（1-）=0，解得 sinx=0，或 1-=0， 即 sinx=0 或 cosx= 又 x0，x=0 或 x=，或 x=arccos，点 A（0，0），B（，0），C（arccos，）， ABC 的面积为|AB|yC|=， 故答案为： 根据题意，令 sinx=tanx，结合 x0，求出 x 的值，得出三个点 A、B、C 的坐标，即可计算 ABC 的面积 本题考查了三角函数的图象与性质的

14、应用问题，属于中档题 10.【答案】 【解析】 解：由 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，知： 在中，若 m，m，则 与 相交或平行，故错误； 在中，若 m，m，则由面面垂直的判断定理得 ，故正确； 在中，若 m，mn，则 n 或 n，故错误； 在中，若 m，则由线面垂直的判定定理得 m，故正确 故答案为： 在中， 与 相交或平行；在中，由面面垂直的判断定理得 ；在中，n 或 n；在 中，由线面垂直的判定定理得 m 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求 解能力，考查数形结合思想，是中档题 11.【答案】9 【解析】 9 解：因为， 所以 4x+（1-x）y=0， 又 x0，y0， 所以+=1， 故 x+y=（+）（x+y）=5+9 当=，+=1 同时成立，即 x=3，y=6 时，等号成立 （x+y）min=9 故答案为：9 先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值 本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础